UBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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die Coefiicienten r k rationale Functionen von aj, und ist: 
wo A 0 , A t1 ..., rationale Functionen von # und t/ a> = so haben wir 
nach dem Vorgänge von Riemann*) die Differentialgleichung, welcher w ge 
nügt, als mit (1.) zu derselben Klasse gehörig bezeichnet. 
Wir wollen diese Bezeichnungsweise auf den allgemeineren Fall aus 
dehnen, wo r 2l . ..,r m eindeutige Functionen des Ortes (x,s) in der durch 
die algebraische Gleichung: 
(3.) 
F(x, s) — 0 
deiinirten liiEMANNschen Fläche bedeuten, und wollen von der linearen 
homogenen Differentialgleichung, welcher w genügt, sagen, dass sie mit [159 
(1.) zu derselben Klasse gehöre, wenn die Grössen Ä , A , .... A eben- 
falls eindeutige Functionen des Ortes (je, s) bedeuten. 
Als Functionen des Ortes (x, s) lassen sich die Integrale der Differential 
gleichung (1.) als lineare homogene Functionen eines Fundamentalsystems 
y 0 y 2 , ..., y m mit von x unabhängigen Coefiicienten darstellen. Ist G die 
Gruppe derjenigen Substitutionen von y 2l ..., y m , welche den sämmtlichen 
geschlossenen Bahnen des Ortes (x, s) entsprechen, so ist G zugleich die 
Gruppe der denselben Bahnen entsprechenden Substitutionen für die Integrale 
welche aus Gleichung (2.) für y = y t , y 2 , ,.., y m hervorgehen. 
Ist umgekehrt ..., w m ein System von FuncticÄien des Ortes (x, s), 
welche für alle geschlossenen Bahnen dieses Ortes in solche lineare homogene 
Functionen von iv. , .... w mit von x unabhängigen Coefiicienten sich ver- 
1 7 2 7 7 TU OO 
wandeln, wie sie die Gruppe G liefert, und setzen wir; 
(*•) 
(4.) w k = 
für k — 1, 2, ..., m, so folgt: 
(5.) 
(Z — 0,1,.. ., m— 1) 
wo A die Hauptdeterminante von y t1 y o) ..., y m , und A a aus A dadurch hervor 
geht, dass die A + i te Verticalreihe in A durch w 2l ..., w m ersetzt wird. 
*) Yergl. Sitzungsberichte 1888, S. 1275 1 ). 
3) AFi. LIV, S. 17 dieses Bandes. E. F.