ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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und substituiren die Resultate in dieselbe Gleichung (1.) voriger Nummer, so 
ergiebt sich eine Gleichung von der Form: 
deren Coefiicienten eindeutige Functionen von (x,s) sein sollen. Ist Glei 
chung (1.) voriger Nummer irreductibel, so ergiebt sich hieraus: 
(3.) 
Dieses ist ein System linearer Differentialgleichungen für die Functionen 
Ä ol ..., A m _ i mit Coefiicienten, die von (%,s) eindeutig abhängen, und es 
ist zu entscheiden, ob dasselbe Particularintegrale besitze, welche eben 
falls eindeutige Functionen von ([x, s) sind. 
Wenn wir die beschränkende Voraussetzung wieder aufnehmen, dass die 
Coefiicienten der Gleichung (1.) voriger Nummer rationale Functionen von 
(x,s) sind, und dass die Integrale derselben nicht Stellen der Unbestimmtheit 
besitzen, so gilt der Satz: 
I. Die Wurzeln der determinirenden Fundamentalgleichungen 
der Gleichung (1.) voriger Nummer sind von t unabhängig, wenn 
diese Gleichung von t unabhängige Substitutionen besitzt. 
Es sind nämlich die Wurzeln einer determinirenden Fundamentalgleichung 
das fache des Logarithmus der Wurzeln der Fundamentalgleichung*), einer 
Gleichung, deren Coefiicienten der Voraussetzung nach von t unabhängig sind. 
Ist unter derselben Voraussetzung y x , i/ 2 , ..., y m ein Fundamentalsystem 
der Gleichung (1.) voriger Nummer, dessen Substitutionen von t unabhängig 
sind, oder, was dasselbe besagt, ein solches Fundamentalsystem, welches auch 
der Gleichung (3.) voriger Nummer genügt, so wird hieraus das zu einer 
singulären Stelle x — a : s — b gehörige Fundamentalsystem w s , .. ., u m 
durch die Gleichungen: 
(4.) U k = X kl y i + X k2 y 2 +"- + X km y m (k= 1, 2,..., m) 
hergeleitet, in welchen x ki , x k ^ ..., x km durch die Gleichungen : 
*) Siehe Grelles Journal, Bd. 66, S. 132, Gl. (6.) 1 ). 
i) Abh. VI, S. 171, Baadl dieser Ausgabe. E. F. 
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