ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
■^ii( K il (W i) F ^k2 ^21 + ' * * + X km K mi = 0, 
Xj. l CC 12 + #¿2(^22 F * ** F ^km ® i 
"1" X k2 ^2m F * * * 4* ^Ss(^sm ^hfc) ^ 
163] bestimmt sind, wenn mit a n die Umlaufscoefficienten von y t1 y 2 , ..y m 
für den singulären Punkt («, h) und mit u> k eine der m Wurzeln der Funda 
mentalgleichung bezeichnet werden*). 
Da a rs und u) k von t unabhängig sind, so ergiebt sich für den Fall, dass 
die Fundamentalgleichung ungleiche Wurzeln besitzt, dass die Verhältnisse 
der Grössen x kl von t unabhängig. Wir können demnach die unbestimmten 
Factoren von «0 , ..., u m so wählen, dass die letzteren ebenfalls gemein 
schaftliche Lösungen von (1.) und (3.) voriger Nummer werden. 
Es ist aber**) zu ersehen, dass auch für den Fall, dass die Fundamental 
gleichung gleiche Wurzeln hat, durch solche lineare homogene Functionen 
der Integrale y m ein zu {a, b) gehöriges Fundamentalsystem ab 
geleitet werden kann, dessen Coefficienten nicht nur von x sondern auch von 
t unabhängig sind. Demnach können wir folgenden Satz aussprechen: 
II. Man kann unter denselben Voraussetzungen, welche im 
Satze I. gemacht sind, das zu irgend einem singulären Punkte 
der Gleichung (1.) voriger Nummer gehörige Fundamentalsystem 
u , u u so wählen, dass auch die letzteren Integrale gleich- 
zeitig der Gleichung (3.) voriger Nummer genügen. 
Im Falle, dass die Voraussetzungen des Satzes I. erfüllt sind, ergiebt 
sich aus demselben, dass, wenn in Gleichung (1.) voriger Nummer: 
—— 1 r,dx 
m J 
y = e v 
gesetzt wird, die Differentialgleichung für v ebenfalls von t unabhängige Sub 
stitutionen hat, dass man demnach bei der Discussion der Gleichung (J.) 
voriger Nummer da, wo es zweckmässig ist, r t = 0 voraussetzen kann. 
*) Siehe Grelles Journal, Bd. 66, S. 132, Gl. (5.) 1 ). 
**) Siehe ebenda S. 134 ff. 2 ). 
1) Abh. YI, S. 171, Band I dieser Ausgabe. R. F. 
2) Ebenda S. 174 ff. B. F.