ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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Fuchs, mathem. Werke. UI. 
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letzteren Variabel» und der von denselben algebraisch abhangenden Grössen 
y, y„ y a , •••> y«.. seien - 
Das System (S) soll jetzt der folgenden Bedingung genügen: Dasselbe 
soll identisch befriedigt werden, wenn die sämmtlichen Ableitungen nach 
den Variabel» ..^x_ t durch bestimmte lineare homogene Ausdrücke 
eines festen Systems von m Ableitungen ersetzt werden, deren Coefficienten 
eindeutige Functionen von aj, x aJ ..., a? , y, y^ y 2 , ..., y a _ x sind. Dieses feste 
System von Ableitungen lässt sich dann allemal so wählen, dass zwischen 
denselben eine lineare homogene Gleichung mit in 
xi x^, x 2J ..., x Q _ t , y, y i , ^/ 2 , • • • > 2/s-x 
eindeutigen Coefficienten nicht stattfindet. 
Für ein so charakterisirtes System (S) ergiebt sich zunächst: 
I. Jede Lösung £ desselben genügt in Bezug auf jede einzelne 
der Variabel» x x einer Differentialgleichung: 
(1.) 
d n z d . ö n ~ l e 
dx? 1 dxf~ l 
+ ••• + r^z = 0, 
deren Coefficienten rf eindeutige Functionen von 
[iös 
X; X l} X 2 , . .., Vj y xi y 2 i 
sind, und deren Ordnung 
Gleichzeitig ist: 
n < m + 1. 
Va-t 
(2-) 
dz 
+ ... + 
4* 
V'-'z 
dx’ 
wo die Grössen eindeutige Functionen von 
xj Xy, x 2J •.., x Q _y, yy y tJ y 2 y . • •, y$—i 
sind. 
Nach den Auseinandersetzungen von No. 4 genügt es im Allgemeinen, 
um die Existenz gemeinschaftlicher Lösungen des Systems (S) nachzuweisen, 
die Gleichung (1.) für eine der Variabel», z. B. x, aufzustellen 
(A 2 .) 
d n z d n ~'z 
dx n + Tl dx + ■" + YnZ ~~ °’