ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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Da nach No. 7 die Substitutionen eines geeigneten Fundamenjjplsystems 
von Integralen der Gleichung (1.) von y unabhängig sind, so folgt aus Satz I. 
No. 3, dass die Wurzeln der Gleichung (4.) von y unabhängig 
sind. 
Nun ist Q k {d) eine rationale Function des Ortes in der Ejemann- [173 
sehen Fläche (2.) und hat einen von y unabhängigen Werth s k : 
(5.) QM = v 
Da aber fy{x,y) irreductibel ist, so folgt, dass die determinirende 
Fundamentalgleichung (4.) dieselbe bleibt, welche Wurzel x der 
Gleichung (2.) auch für a gewählt wird. 
Sind daher r it r a , r s die Wurzeln der Gleichung (2.), so folgt: 
Es giebt ein Fundamentalsystem von Integralen der Gleichung 
(1.), C l5 C„ C 3 von der Beschaffenheit, dass 
Ci<Ka,y) -r S Wix,y)~ h , ^(%,y)~ r3 
ganze rationale Functionen von \ogfy{x,y) dar stellen, deren Co- 
efficienten eindeutig, endlich und stetig sind, solange y dem 
Gebiete F angehört und x einem entsprechenden Gebiete G, 
welches sich aus Gleichung (2.) ergiebt*). 
Dieses stimmt mit einem Satze des Herrn Horn**) überein, welchen der 
selbe aus anderen Principien und an den Differentialgleichungen (l.), (2.), (3.) 
N0. 7 selbst herleitet. 
Die Einschränkung, dass y in dem oben bezeichneten Gebiete F sich be 
wege, ist erforderlich, weil entweder die Integrale der Gleichung (1.) in der 
Umgebung von x — a für solche Werthe von ?/, für welche 
. t dó 
ó = 0 mit = 0 oder = 0, oder mit ’l>. = 0 
ox oy ’ 11 
gemeinschaftliche Lösungen besitzt, unbestimmt werden können, oder die de- 
terminirende Fundamentalgleichung (4.) ihren Charakter ändern kann. 
*) Siehe Grelles Journal, Bd. 66, S. 148 ff. J ). 
**) Acta Mathematica, T. 12, S. 152. 
D Alh. VI, S. 188 ff., Band I dieser Ausgate. R. F.