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ZUR THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
4. 
Ans dem Vorhergehenden ergiebt sich, dass die Coefiicienten der Funda- 
mentalsubstitntionen der Integrale t] 2 , ..Y] n vermittelst der Gleichungen 
(S'.) mit den Grössen J^, für a = 0, 1, 2, ..n{z — 1) — 1 und den Para 
metern der Differentialgleichung (B.) algebraisch verbunden sind. Zwischen 
den Grössen bestehen überdies die Gleichungen (3.) und (4.) voriger 
Nummer, deren Anzahl gleich 2n 2 {x — \) (nämlich für a = 0, 1, 2, ..., n[z — 1) — 1, 
x = 1, 2, ...,w), und die im Allgemeinen 2n 2 Q(Q — 3) Gleichungen repräsentirende 
Gleichung (T.). 
1123] Indem wir uns Vorbehalten, auf diese Relationen, ihre Reduction und 
ihre Anwendungen bei anderer Gelegenheit näher einzugehen, beschränken 
wir uns hier darauf, noch die Rechnungen für n = 1 und n = 2 auszuführen. 
Es sei 
I. n — 1. 
(1.) [y\ = F{x) y' + F z _ 1 {x)y = 0, 
(2.) [e] t = [- F T _ t (x) + F'{x)] s + F{x) 0’ = 0, 
Sei 
f3 ) Ut-dO^) _ a i , , a i> , ßi , . ßa 
' ‘ F(x) x — a l ' x — x — b t x — b a ' 
wo die realen Theile von ..., a positiv und kleiner als Eins, und ..., ß a 
ganze Zahlen bedeuten. Dann ist 
(4.) 
II 
I 
|! % 
(5.) 
C == (æ — aj“ 1 1 ... 
Bezeichnen 
wir mit 7] u , C„ das 
zu a gehörige Integral bez. der Gleichungen 
(1.) und (2.), so ist 
(6.) -n = V C = c u , 
und es wird nach einem Umlaufe von x um a , yj und C hez. in yje 2ß ‘ u+1 ' IU 
und Ce + CC ‘ u+1 ' Kl übergehen. Auf der rechten Seite der Gleichung (S.) haben 
b und c den Werth Eins. 
Es wird ferner 
(7-) 
U 
F v . t (x)-F M (a) , d \ F(x) — F (et) 
x — a 
+ 
dx 
x — a