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ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
i) Abh. VII, S. 206—207, Band I dieser Ausgabe. B. F. 
Es ist 
(14.) m cn — 1. 
Wir können die noch unbestimmten Coefficienten von 
Q 0 {x), Q^x), ..., Q^x) 
stets so wählen, dass 9 + 1 auch genau der Exponent ist, zu welchem 
w l7 u 2 , ..gehören. 
Ist r = 0 eine von q verschiedene Wurzel der Gleichung (3.) und C ein 
entsprechendes Element des zu a gehörigen Fundamentalsystems, so ist unserer 
Voraussetzung nach nicht gleichzeitig 
F(p,a) = 0, F'{a,a) = 0, . . ., E (M_1) (o, a) = 0. 
Bezeichnen wir demnach mit v das Resultat der Substitution y = C in Glei 
chung (6.), so gehört v noch immer zum Exponenten a. 
Es seien diejenigen Wurzeln der Gleichung (3.), welche von einer be 
stimmten Wurzel r i derselben um ganze Zahlen verschieden sind, derart in 
Gruppen vertheilt, dass in jeder Gruppe gleiche Wurzeln sich befinden. Die 
Gruppe R 0 enthalte die Wurzel r i ft o -fach, die Gruppe R 1 die Wurzel r l —g t 
/^-fach u. s. w., die Gruppe B v die Wurzel r i —g v fi v -fach, wo die Grössen g 
positive ganze Zahlen bedeuten, welche sämmtlich von Null verschieden sind 
und mit dem Index anwachsen. Dann giebt es ein der Gruppe ent 
sprechendes System von Integralen: 
W hv y i2' * * *» 
978] welche zum Exponenten r l —g > gehören und so beschaffen sind, dass nicht 
durch eine lineare Combination derselben mit Integralen höherer Exponenten 
ein anderes zu r x —g } gehöriges System mit einer geringeren Anzahl von Ele 
menten erhalten werden kann, während jedes andere Integral, welches zum 
Exponenten r y —g } gehört, sich durch das System (a.) und Integrale höherer 
Exponenten linear ausdrücken lässt*). 
Wenn umgekehrt: 
iß-) w lt w 2 , w p 
*) Grelles Journal, Bd. 68, S. 355 1 ).