ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.
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(a) Es sollen die Integrale derselben überall bestimmte Werthe erhalten,
die Coefficienten p k demnach die in Gleichung (6.) voriger Nummer angeführte
Form haben. Hierbei sollen «p von t unabhängig sein, dagegen
a = t werden.
Q
(b) Sei a ein beliebiger singulärer Punkt, y ein Element des zugehörigen
Fundamentalsystems von Integralen, r die entsprechende Wurzel der determi-
nirenden Fundamentalgleichung, so dass:
V — i x ~ o) r K + <?, log (x - a) + cp 2 (log (x - a)) 2 + • • • + <p m (log (x - d)) m ].
Es sollen <p 0 , ..., cp m in der Umgebung eines willkürlichen Werthes t 0
von t nach ganzen positiven Potenzen von x — a und t —1 0 entwickelbar sein.
Dass es Differentialgleichungen giebt, welche den Forderungen (a) und
(b) Genüge leisten, dafür bieten diejenigen Differentialgleichungen Beispiele
dar, denen die Periodicitätsmoduln der AßELSchen Integrale Genüge leisten*).
Sei für ein Integral der Gleichung (1.):
(2.) y = {x- a) r [cp 0 + c ?1 log (x -a) + <? 2 (log (x - a))\ + • • • + (log (x - a)) w ],
wo a einer der Punkte a t , a 2 , ..., a und cp o , cp x , ..., nicht sämmtlich Null
und nicht unendlich für einen willkürlichen Werth von t, so ist nach der
Voraussetzung (b):
( 3 0 % = ~^ + log ” a ) + <K( lo g ~ a )) 2 + "* + 'K( lo g ( x ~ a )T]>
wo <p o , 6 1? ..., <\> m für x = a und einen willkürlichen Werth von t nicht un
endlich werden.
4. [984
Wenn die Differentialgleichung (1.) N0. 2 die Eigenschaft hat, dass die
Fundamentalsubstitutionen ihrer Integrale von einem in ihren Coefficienten
auftretenden Parameter unabhängig sind, so hat jede Differentialgleichung
derselben Klasse die gleiche Eigenschaft. Hat die Differentialgleichung (l.)
N0. 2 überdies die Eigenschaft (b) N0. 3, so behält die Differentialgleichung
*) Yergl. Grelles Journal, Bd. 71, S. 118 und Bd. 73, S. 329; Sitzungsberichte 1888, S. 1286; 1889,
S. 713; 1890, S. 21 J ).
1) Abh. VIII, S. 270 und Abh. XIII, S. 349, Band I dieser Ausgabe; Abb. LIV, S. 30, 35 und 49 dieses Bandes. B. F.
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