ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.
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A n _ t in der Umgebung von a eindeutig sein muss, so folgt, dass der Complex
der bezüglichen Glieder in Gleichung (5a.) verschwinden muss.
Aus dem Vorhergehenden ergiebt sich das Theorem:
Die rationale Function A n _ t von x wird für die nicht von
(B.) t abhängigen singulären Punkte Null mindestens erster
Ordnung.
Für den singulären Punkt a = t gehört mindestens zum Expo- [987
nenten i\ — 1, daher E mindestens zum Exponenten n— 2, es ist folglich, für
n> 2, A n _ x auch Null für x = t, und für n — 2 jedenfalls nicht unendlich.
Für x = 00 setzen wir;
Alsdann ergiebt dieselbe Rechnung wie die obige, dass A n _ l | 2(w ~ 1) für
| = 0 nicht unendlich wird.
Es ist daher A n _ t für x = 00 höchstens von der 2{n — l) ten Ord
nung unendlich.
Anlangend die ausserwesentlich singulären Punkte, so kann die Trans
formation (6.) N0. 1 so gewählt werden, dass die Hauptdeterminante der In
tegrale der transformirten Gleichung in den durch die Transformation ent
standenen ausserwesentlich singulären Punkten ß nur einfach verschwindet.
Die auf einen solchen Punkt bezügliche determinirende Fundamentalgleichung
hat dann die Wurzeln 0, 1, 2, ..., n — 2, n. Bei der Transformation (6a.) N0. 1
bleiben die singulären Punkte ß und die zugehörigen determinirenden Funda
mentalgleichungen erhalten, während neue ausserwesentlich singuläre Punkte
y ein treten, deren zugehörige determinirende Fundamentalgleichungen eben
falls die Wurzeln 0, 1, 2, ...,w — 2,n sind. So weiter schliessend folgern wir,
dass wir bei unserer Gleichung (l.) voraussetzen dürfen, dass zu allen ausser
wesentlich singulären Punkten derselben determinirende Fundamentalgleichungen
mit den Wurzeln 0, 1, 2, ..., n— 2, n gehören.
Setzen wir in Gleichung (2.) für y successive y 2 , • • •» y n , so ergiebt
sich aus dem entstehenden Gleichungssystem:
(16.) AA k = Z k , (fc = i,2,...,n—l)
worin Z k eine ganze Function von y i , y 2) ..., y n und ihren Ableitungen nach