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ZUR THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.
Ist aber f{u) ein Differentialausdruck von der Eigenschaft, dass uf{u)
für jede Function u der vollständige Differentialquotient einer in u und seinen
1274] Ableitungen linearen und homogenen Functionen 11 {u) ) und ist f\u) der
zu f{u) adjungirte Differentialausdruck, so ist identisch
fO) = - f{u)
und umgekehrt*). Da nun der zu H\M[t)) adjungirte Differentialausdmck
dem Ausdrucke )) gleich wird, wenn wir mit M'(t) den zu M{t) ad-
jungirten Ausdruck bezeichnen**), so ergiebt sich aus Gleichung (4.), dass
identisch für jede Function t
(M.)
Ist umgekehrt diese Gleichung identisch erfüllt, so ist )) ein
vollständiger Differentialquotient und demgemäss auch nach Gleichung (3.)
ein vollständiger Differentialquotient.
9.
Wir gehen nunmehr zur Untersuchung des Falles über, in welchem die
Gleichung (H'.) reductibel wird***). Zuvor aber wollen wir einige auf all
gemeine lineare Differentialgleichungen bezügliche Sätze aufstellen, von welchen
wir Gebrauch machen werden.
Sei eine lineare, homogene Differentialgleichung
. d m y d m ~ 1 y -or \ d
( •) dx m + U dx m-i + •” + r m y — L{y) — 0
mit rationalen Coefficienten vorgelegt, so genügt jeder Ausdruck der Form
( 2 -) w = A 0 y + y' + • ■ ■ + A m _, y m ~ l) = P{y),
in welchem y ein Integral von (1.), A 0 , ..., A m _ l rationale Functionen von
x und die oberen Accente Ableitungen bedeuten, ebenfalls einer linearen
Differentialgleichung höchstens m ter Ordnung. Differentiiren wir nämlich die
*) Vergl. den vor Kurzem erschienenen II. Theil der »Leçons sur la théorie des surfaces« von
Herrn Dauboux, S. 111.
**) Siehe Frobenius, Borchardts Joxxrnal, Bd. 85, S. 189.
***) Über die Begriffe der Irreductihilität und Reductibilität siehe Feobeniüs, Borchardts Journal,
Bd. 7G, S. 236.