Gleichung (2.) und ersetzen die Ableitungen von y höherer als m ter Ordnung 
mit Hülfe der Gleichung (J.) durch die Ableitungen niedrigerer Ordnung, so 
ergiebt sich, dass jede Ableitung von w eine lineare homogene Function 
von 2/, y\ • • •, mit rationalen Coefiicienten ist. Durch Elimination von 
aus den Ausdrücken für w, w\ ..., w m) ergiebt sich die bezeich- 
nete Differentialgleichung für w. Alle diese Differentialgleichungen wollen [1275 
wir mit Ejemann*) als mit (l.) zu derselben Klasse gehörig bezeichnen. 
Seien A o , ..., A m _ t willkürlich gewählte rationale Functionen und be 
zeichnen y t1 y^ ...,y m ein Fundamentalsystem von Integralen der Gleichung 
(l.), so ist eine Relation der Form 
(3.) YiPiVi) + yz p (y*) + '“ + y m P(y m ) = 0, 
wo y,,y„, ..., y m Constanten bedeuten, nicht möglich. Setzen wir nämlich 
(4.) y t Vi F y 2 V* 4 + y m y* 
so ist Gleichung (3.) gleichbedeutend mit 
(5.) A 0 -t] + A 1 r i '+ • - • + A m _ 1 r i 011 11 = 0. 
Es ist vj ein Integral der Gleichung (1.), welches der Voraussetzung nach 
nicht identisch verschwinden kann. Da aber Gleichung (1.) nicht mit der 
willkürlichen Differentialgleichung 
dm '*y + ... + A ^ + At, 
1+ +Al clx + oJ 
ein Integral gemeinschaftlich haben kann, so kann die Gleichung (5.), folglich 
auch die Gleichung (3.) nicht bestehen. 
Aus Gleichung (2.) ergiebt sich durch Differentiation 
A* 0 y F y F ■ ■ ■ F Afy m _i y 
(Je = 0,1,..m—1) 
Die Hauptdeterminante der Functionen y^ y^ ..y m sei A und diejenige der 
Functionen w t = P{y^)i w 2 = P(y a )i • • •» w m ~ se ^ 80 ans 
(7.) d = [AJA, (M = 0,l,...,m-l) 
dass die Determinante I A,.\ nicht verschwinden kann, weil sowohl A als auch 
*) Gesammelte Werke, Nachlass, S. 358 *). 
1) Zweite Auflage (1892), S. 380. ß. F. 
Fuclis, mathera. Werke. III.