18 
ZUR THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
d von Null verschieden sind. Man kann also aus den Gleichungen (6.) «/, 
folglich auch die Integrale aller zu derselben Klasse gehörigen Differential 
gleichungen, als lineare homogene Functionen von w, mit ratio 
nalen Coefficienten darstellen. Wir erhalten also den Satz: 
I. Sind A > A 1 .,. i A m _ 1 willkürlich gewählte rationale Func 
tionen, so ist die Differentialgleichung, welcher w genügt, nicht 
niedrigerer als m Ur Ordnung, und man kann umgekehrt ?/, also 
jedes Integral einer der Klasse zugehörigen Differentialgleichung 
als lineare homogene Function von 10, w\ ..., w (m ~ v mit rationalen 
Coefficienten darstellen. 
1276] Durch diesen Satz ist die bevorzugte Stellung der Gleichung (l.) be 
seitigt, es kann an deren Stelle jede Gleichung derselben Klasse, von der 
m tm Ordnung, treten. 
II. Ist eine Differentialgleichung der Klasse reductibel, so 
giebt es unter den Differentialgleichungen derselben Klasse 
auch solche, deren Ordnung kleiner ist als m. Die Differential 
gleichungen derselben Klasse sind sämmtlich reductibel. 
Ist nämlich Gleichung (1.) reductibel, so existirt ein Differentialausdruck 
Q{y) der Ordnung y < m, von der Beschaffenheit, dass 
(8.) B{y) = S(Q{y)), 
wenn mit S{y) ein Differentialausdruck der (m — fi) ten Ordnung bezeichnet wird*). 
Ist w ein Integral einer Differentialgleichung der Klasse, deren Ordnung 
nicht kleiner als m, so folgt aus dem Obigen, dass y und seine sämmtlichen 
Ableitungen als lineare homogene Functionen von w, w\ ..w m ~ v darstellbar 
sind. Wir haben demnach 
(9.) v = Q(y) = B 0 w + By + ••• + B m _ x w (m ~ x) = Q t {w), 
wo _B 0 , ..., jB m _ 1 rationale Functionen von x bedeuten. 
Da der Voraussetzung nach Q (y) für Integrale der Gleichung (1.) ver 
schwinden soll, so hat die Differentialgleichung für w mit einer Gleichung 
Qiiw) = 0 
niedrigerer als m ter Ordnung Integrale gemeinschaftlich, ist also reductibel. 
*) Siehe Frobenius, Borchardts Journal, Bd. 76, S. 258.