92
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.
eritque a 5 = 1, sive (a—1) [a 1 -\-o?-{-a 1 1) = 0 (mod. 5w-f- l). At quia
nequit esse a= 1, neque adeo a —1 = 0; necessario erit a i -{-o 3 -\-a 2 ~\-a-1-1
= 0. Quare etiam 4 1) = (2 aa-\~a-\- 2) 2 —-5 a 2 erit =0
i. e. 5 a 2 erit residuum ipsius 5ra-f-l, adeoque etiam 5, quia a 2 est residuum
per 5^ —(— 1 non divisibile (a enim per 5w-j-l non divisibilis propter a 5 —],).
Q. E. D. }
At casus, ubi numerus primus formae 5 ^ —J— 4 proponitur, subtiliora artiti-
1
cia postulat. Quoniam vero propositiones quarum ope negotium absolvitur in se-
X
quentibus generalius tractabuntur, hic breviter tantum eas attingimus.
I. Si p est numerus primus atque h non-residuum quadraticum datum e
ipsius p, valor expressionis
(A) ... (* + ^r +l -(x-\/b)p+' j
(ex qua evoluta irrationalitatem abire facile perspicitur), semper per p divisibilis
erit, quicunque numerus pro x assumatur. Patet enim ex inspectione coefficien-
tium qui ex evolutione ipsius A obtinentur, omnes terminos a secundo usque ad
p-i
penultimum (incl.) per p divisibiles fore, adeoque esse A= 2(p-j-l) [x p -\-xb~*~)
(mod.jo). At quoniam h ipsius p non-residuum est, erit = — 1 (mod.jti'),
(art. 106); x p autem semper est =x (Sect. praec.), unde fit A= 0. Q. E. D.
II. Incongruentia A=0(mod.j9), indeterminata x habet p dimensiones
omnesque numeri 0,1,2 p—1 illius radices erunt. lam ponatur e esse divi- 1
sorem ipsius p-J- 1 eritque expressio ^
{x -p \Jh) e — (x — \Jb) e > l||| I
\Jh r
(quam per B designamus) si evolvitur, ab irrationalitate libera, indeterminata x c
in ipsa e—1 dimensiones habebit, constatque ex analyseos primis elementis, A r
per B (indefinite) esse divisibilem, lam dico e—1 valores ipsius x dari, quibus
in B substitutis, B per p divisibilis evadat. Ponatur enim A = BC, habebit-
que x in C dimensiones p — e-j-1, adeoque congruentia C = 0 (mod. p) non
plures quam p — e-\-i radices. Unde facile patet, omnes reliquos numeros ex p
his 0,1,2,3—p — 1, quorum multitudo =e—1, congruentiae B= 0 radi- ti
ces fore. q
III. lam ponatur p esse formae 5—j— 4, c=5, b non-residuum ipsius E
p, atque numerum a ita determinatum, ut sit a