94 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
erit. Q.E.D — At primi numeri formae 7n-\-2 vel 7n-{-A omnes methodos 
hucusque traditas eludunt. Ceterum etiam haec demonstratio ab ili. La Grange 
primum est detecta 1. c. — Infra Sect. VII. docebimus generaliter, expressionem 
4 semper ad formam X 2 ^f-p Y~ reduci posse, (ubi signum superius est ac 
cipiendum quando p est numerus primus formae inferius quando est 
formae 4 —f- 3), denotantibus X, Y functiones rationales ipsius x, a fractioni 
bus liberas. Hanc discerptionem ili. La Grange ultra casum p = 7 non perfe 
cit y,. 1. c. p. 352. 
Praeparatio ad disquisitionem generalem. 
1 25. 
Quoniam igitur methodi praecedentes ad demonstrationes generales stabili 
endas non sufficiunt, iam tempus est, aliam ab hoc defectu liberam exponere. In 
itium facimus a theoremate, cuius demonstratio satis diu operam nostram elusit, 
quamvis primo aspectu tam obvium videatur, ut quidam ne necessitatem quidem 
demonstrationis intellexerint. Est vero hoc: Quemvis numerum, praeter quadrata 
positive sumta, aliquorum numerorum primorum non-residuum esse. Quia vero hoc 
theoremate tantummodo tamquam auxiliari ad alia demonstranda usuri sumus, 
alios casus hic non explicamus quam quibus ad hunc finem indigemus. De reli 
quis casibus postea sponte idem constabit. Ostendemus itaque, quemvis numerum 
primum formae 4w-J-l, sive positive sive negative accipiatur*), non-residuum esse 
aliquorum numerorum primorum, et (si O 5) quidem talium qui ipso sint minores. 
Primo, quando numerus primus p, formae 4^ —|— 1 ((>17; sed —13X3, 
— 17 Nb), negative sumendus proponitur, sit 2 a numerus par proxime maior quam 
sjp; tum facile perspicitur, 4 a a semper fore <^2p sive 4 a a—jo <Qx At 
4 a a—p est formae 4w-f-3, -\-p autem residuum quadraticum ipsius 4 a a—p, 
(quoniam p = 4aa (mod. iaa—p)~)] quodsi igitur 4aa—p est numerus primus, 
—p ipsius non-residuum erit; sin minus, necessario factor aliquis ipsius 4 a a—p 
formae 4w-)-3 erit; et quum -f-p etiam huius residuum esse debeat, —p ipsius 
non-residuum erit. Q. E. D. 
Pro numeris primis positive sumendis duos casus distinguimus. Primo sit 
p numerus primus formae 8 w 5. Sit a numerus quicunque positivus <^f\-p- 
Tum 8w-f-5 — 2 a « erit numerus positivus formae 8 n-\- 5 vel 8 n-j- 3 (prout a 
0 + i autem excipi oportere per se manifestum est.