98 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
Demonstr. Esto, si fieri potest, a residuum omnium primorum ipso 2y / «-(-l 
minorum. Tum facile perspicietur, a etiam omnium numerorum compositorum 
ipso 2 \ja-\-1 minorum residuum fore (conferantur praecepta per quae diiudicare 
docuimus, utrum numerus propositus sit numeri compositi residuum necne; art. 
105). Sit numerus proxime minor quam \]a, —m. Tum in serie 
(I) a, \[a—1), 2 {a — 4), £(a—9) 2 {a—mm) vel T(a— mm) 
totidem aut plures termini erunt per numerum quemcunque ipso 2 \Ja -j-1 mino 
rem divisibiles, quam in hac 
(II) 1, 2, 3, 4 .... 2m —J— 1 (art. praec.) 
Hinc vero sequitur, productum ex omnibus terminis (I) per productum omnium 
terminorum (II) divisibile esse, (art. 126). At illud est aut =a{a — 1) {a—4) 
[a — mm) aut semissis huius producti (prout m aut par aut impar). Quare pro 
ductum a [a—1 ){a — 4) [a — mm) certo per productum omnium terminorum 
(II) dividi poterit, et, quia omnes hi termini ad a sunt primi, etiam productum 
illud omisso factore a. Sed productum ex omnibus terminis (II) ita etiam exhi 
beri potest, 
{m-f- 1). ((m-)- l) 2 — 1} . ((m-f- l) 2 — 4) — 0(m—j— l) 2 — m 2 ) 
Fiet igitur 
l a — l a — 4 a — m® 
jn-f-l (m-j-l) z —1 (m-j-l)® — 4 (w+l)®—m® 
numerus integer, quamquam sit productum ex fractionibus unitate minoribus: 
quia enim necessario \'a irrationalis esse debet, erit m -f- 1 )> \ja, adeoque 
(m-|-l) 2 0^- Hinc tandem concluditur suppositionem nostram locum habere non 
posse. Q. E. D. 
lam quia a certo )>9, erit 2\/«-(- 1 <^a, dabiturque adeo aliquis primus 
<^a cuius non-residuum a. 
Per inductionem theorema generale (fundamentale) stabilitur, conclusionesque inde deducuntur. 
130. 
Postquam rigorose demonstravimus quemvis numerum primum formae 
4et positive et negative acceptum, alicuius numeri primi ipso minoris non-