PER INDUCTIONEM THEOREMA GENERALE STABILITUR. 101 
'Ositio- 
•e pos- 
harum 
Quum omnium harum propositionum demonstrationes ex iisdem principiis 
sint petendae, necesse non erit omnes evolvere: demonstratio prop. 9, quam ap 
ponimus tamquam exemplum inservire potest. Ante omnia autem observetur, 
quemvis numerum formae 4 n -f-1 aut nullum factorem formae 4 n 3 habere, 
aut duos, aut quatuor etc,, i. e. multitudinem talium factorum (inter quos etiam 
aequales esse possunt) semper fore parem; quemvis vero formae 4 n -f- 3 multitu 
dinem imparem factorum formae 4n-(- 9 [i. e. aut unum aut tres aut quinque 
etc.) implicare. Multitudo factorum formae 4»-f-l indeterminata manet. 
Prop. 9 ita demonstratur. Sit A productum e factoribus primis d, d', d" 
etc., h, h', V' etc.; eritque factorum h, h', h" etc. multitudo par (possunt etiam nulli 
adesse, quod eodem redit). lam si a est residuum ipsius A, erit residuum etiam 
omnium factorum d, a , d" etc. h, h', ¿/'etc. quare per pro pp. 1,3 art. praec. sin 
guli hi factores erunt residua ipsius a, adeoque etiam productum A. —A vero 
idem esse debet. — Quodsi vero — a est residuum ipsius A, eoque ipso om 
nium factorum d, d' etc. h, h' etc.; singuli d, d' etc. erunt ipsius a residua, sin 
guli h, h' etc. autem non-residua. Sed quum posteriorum multitudo sit par, pro 
ductum ex omnibus, i. e. A, ipsius a residuum erit, hincque etiam —A. 
133. 
Investigationem adhuc generalius instituamus. Contemplemur duos nume 
ros quoscunque impares inter se primos, signis quibuscunque affectos, P et Q. 
Concipiatur P sine respectu signi sui in factores suos primos resolutus, designe- 
turque per p, quot inter hos reperiantur quorum non-residuum sit Q. Si vero 
aliquis numerus primus, cuius non-residuum est Q, pluries inter factores ipsius 
P occurrit, pluries etiam numerandus erit. Similiter sit q multitudo factorum 
primorum ipsius Q, quorum non-residuum est P. Tum numeri p, q certam 
relationem mutuam habebunt ab indole numerorum P, Q pendentem. Scilicet 
si alter numerorum p, q est par vel impar, numerorum P, Q forma docebit, 
utrum alter par sit vel impar. Haec relatio in sequenti tabula exhibetur. 
Erunt p,q simul pares vel simul impares, quando numeri P, Q habent 
formas: 
1. +A, +A' 
2. -fi, — A'