PER INDUCTIONEM THEOREMA GENERALE STABILITUR.
103
134.
Aggrediamur nunc deductionem harum propositionum.
I. Concipiatur, ut ante, P in factores suos primos resolutus, signis neglec
tis, insuperque etiam Q in factores quomodocunque resolvatur, ita tamen ut sig
ni ipsius Q ratio habeatur. Combinentur illi singuli cum singulis his. Tum si
s designat multitudinem omnium combinationum, in quibus factor ipsius Q est
non-residuum factoris ipsius P, p et s vel simul pares vel simul impares erunt.
Sint enim factores primi ipsius P, hi /, /', f" etc. et inter factores in quibus Q
est resolutus, sint m qui ipsius f sint non-residua, m' non-residua ipsius f,
m non-residua ipsius /"etc. Tum facile quisquis perspiciet, fore
s = m -J- m’ -(- m” -J- etc.
p autem exprimere quot numeri inter ipsos m, m, m" etc. sint impares. Unde
sponte patet, s fore parem quando p sit par, imparem quando p sit impar.
II. Haec generaliter valent, quomodocunque Q in factores sit resolutus.
Descendamus ad casus particulares. Contemplemur primo casus, ubi alter nu
merorum, P, est positivus, alter vero, Q, vel formae -\-A vel formae —B. Re
solvantur P, Q in factores suos primos, attribuatur singulis factoribus ipsius P
signum positivum, singulis autem factoribus ipsius Q signum positivum vel nega
tivum, prout sunt formae a vel h\ tunc autem manifesto Q fiet vel formae -\~ A
vel —B uti requiritur. Combinentur factores singuli ipsius P cum singulis
factoribus ipsius Q, designetque ut ante s multitudinem combinationum in qui
bus factor ipsius Q est non-residuum factoris ipsius P, similiterque t multitu
dinem combinationum in quibus factor ipsius P est non-residuum factoris ipsius
Q. At ex theoremate fundamentali sequitur illas combinationes idénticas fore
cum his adeoque s= t. Tandem ex iis quae modo demonstravimus sequitur esse
p eee s (mod. 2), q ~ t (mod. 2), unde fit p = q (mod. 2).
Habentur itaque propp. 1, 3, 4 et 6 art. 133.
Propositiones reliquae per methodum similem directe erui possunt, sed una
consideratione nova indigent; facilius autem ex praecedentibus sequenti modo de
rivantur.
III. Denotent rursus P, Q, numeros quoscunque impares inter se primos,
p, q multitudinem factorum primorum ipsorum P, Q, quorum non-residua Q,
P respective. Tandem sit p multitudo factorum primorum ipsius P, quorum