104 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
non-residuum est —Q (quando Q per se est negativus, manifesto —Q nume 
rum positivum indicabit). lam omnes factores primi ipsius P in quatuor classes 
distribuantur. 
1) in factores formae a, quorum residuum est Q. jj 
2) factores formae b, quorum residuum Q. Horum multitudo sit y. q t 
3) factores formae a, quorum non-residuum est Q. Horum multitudo sit W. ea 
4) factores formae b, quorum non-residuum Q. Quorum multitudo = (o. 
Tum facile perspicitur fore p = p -j- m . p = y -f- p. 
lam quando P est formae + A, erit y -f- oj adeoqne etiam y — ta nume- q X 
ruspar: quare ñet p =p-\ r y — w=p (mod. 2); quando vero P est formae ~\rB, re 
per simile ratiocinium invenitur, numeros p, p' sec. mod. 2 incongruos fore. ni 
IV. Applicemus haec ad casus singulos. Sit primo tum P tum Q formae f u 
-|-A, eritque ex prop. 1 y? = ^(mod.2); at erit p'=p (mod. 2); quare etiam p'=q ar 
(mod. 2),. Quod convenit cum prop. 2. — Simili modo si P est formae —A, tn 
Q formae -\-A, erit p = q(mod. 2) ex prop. 2 quam modo demonstravimus; hinc, V e 
ob p =p, erit p=q. Est itaque etiam prop. 5 demonstrata. ch 
Eodem modo prop. 7 ex 3; prop. 8 vel ex 4 vel ex 7 ; prop. 9 ex 6; ex ea- q X 
denique prop. 10 derivantur. sr 
Demonstratio rigorosa theorematis f undamentalis. 
135. d ' 
Per art. praec. propositiones art. 133 non quidem sunt demonstratae, sed 
tamen earum veritas a veritate theorematis fundamentalis quam aliquantisper sup- ' ( 
posuimus pendere ostensa est. At ex ipsa deductionis methodo manifestum est. 
illas valere pro numeris P, Q, si modo theorema fundamentale pro omnibus fac- si 
toribus primis horum numerorum inter se comparatis locum habeat, etiamsi gene 
raliter verum non sit. Nunc igitur ipsius theorematis fundamentalis demonstra- (4 
tionem aggrediamur. Cui praemittimus sequentem explicationem. ve 
Theorema fundamentale usque ad numerum aliquem M verum esse dicemus, si Q 
valet pro duobus numeris primis quibuscunque, quorum neuter ipsum M superat. 
Simili modo intelligi debet, si theoremata artt. 131, 1 32, 133 usque ad ali 
quem terminum vera esse dicemus. Facile vero perspicitur, si de veritate theore- fa 
matis fundamentalis usque ad aliquem terminum constet, has propositiones usqne 
ad eundem terminum locum esse habituras. ve