106 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
Quando T —f— 1 est formae An -j- 3, p vero formae An -j- 1, theor. fund. 
falsum erit, si fuerit vel 
+pR{T+l) (sive —pN[T+1)) et ±{T+l)Np 
vel -\-pN{T-\-l) (sive —pR{T-\-l)~) et + (T-j-l)Rp 
Si demonstrari poterit, nullum horum octo casuum locum habere posse, 
simul certum erit, theorematis fundamentalis veritatem nullis limitibus circum 
scriptam esse. Hoc itaque negotium nunc aggredimur: at quoniam alii horum 
casuum ab aliis sunt dependentes, eundem ordinem, quo eos hic enumeravimus, 
servare non licebit. 
137. 
Casus primus. Quando T-\- 1 est formae 4n-f-1 (= a), atque p eiusdem 
formae; insuper vero -\rpRa, non potest esse + Hic casus supra fuit primus. 
Sit -f-p = e 2 (mod. a), atque e par et <fa (quod semper obtineri potest), 
lam duo casus sunt distinguendi. 
I. Quando e per p non est divisibilis. Ponatur e l —p-\-af, eritque / 
positivus, formae 4 n -f- 3 (sive formae B), <^a, et per p non divisibilis. Porro 
erit e 2 =p{mod.f), i. e. pRf adeoque ex prop. 11 art. 132 -f~ fllp (quia enim 
p,f <fa, pro his propositiones istae valebunt). At est etiam afllp, quarabet 
quoque -\-aRp. 
II. Quando e per p est divisibilis, ponatur e=gp, atque e 1 —p-\-aph, 
sive pf = 1 -\-ah. Tum erit h formae 4 —|— 3 (J5), atque ad p et g~ primus. 
Porro erit pg 2 Rh, adeoque etiam pRh, hinc (prop. 11 art. 132) -^rhRp. At 
est etiam —ahRp, quia —ah = 1 (mod. p); quare liet etiam -\-aRp. 
13S. 
Casus secundus. Quando T-\-1 est formae An-\-\ (= a), p formae An-\- 3, 
atque + pR[T-\-1), non potest esse -\-[T-\-i)Np sive —[T-\-l)Rp. Hic 
casus supra fuit quintus. 
Sit ut supra e 2 =p -J-fa atque e par et a. 
I. Quando e per p non est divisibilis, erit etiam f per p non divisibilis. 
Praeterea autem erit f positivus, formae 4n-\-l (sive A), atque <fa\ -\-pRf,