THEOEEMA FUNDAMENTALE. 
107 
adeoque (prop. 10 art. 132) —J—fRp. Sed est etiam -j- faRp, quare liet -f- aRp, 
sive —aNp. 
II. Quando e per p est divisibilis, sit e—pg, atque f=ph. Erit itaque 
g l p = 1 -\-ha. Tum h erit positivus, formae 4w-(-3 [B), et ad p et g 3 primus. 
Porro -}-g'pRh, adeoque -f-pRh; hinc iit (prop. 13 art. 132) —hRp. At est 
— haRp, unde iit -f- aRp atque —aNp. 
139. 
Casus tertius. Quando T-f-1 est formae 4/i-j-l {=a), p eiusdem formae, 
atque f-pNa: non potest esse f-aRp. (Supra casus secundus). 
Capiatur aliquis numerus primus ipso a minor, cuius non-residuum sit -j-a, 
quales dari supra demonstravimus (artt. 125, 129). Sed hic duos casus seorsim 
considerare oportet, prout hic numerus primus fuerit formae 4 w, -f-1 vel 4w-f-3, 
non enim demonstratum fuit, dari tales numeros primos utriusque formae. 
I. Sit iste numerus primus formae 4w-j-l et — d. Tum erit -j- a'Na 
(art. 131) adeoque f~dpRa. Sit igitur e*=dpimod.d) atque e par, <fa. Tunc 
iterum quatuor casus erunt distinguendi. 
1) Quando e neque per p neque per d est divisibilis. Ponatur e 2 — 
dp-faf, signis ita acceptis ut f fiat positivus. Tum erit f <fa, ad d et p 
primus atque pro signo superiori formae 4w-j-3, pro inferiori formae 4 n-\-l. 
Designemus brevitatis gratia per [x, g] multitudinem factorum primorum numeri 
y quorum non-residuum est x. Tum erit dpRf adeoque [dp,f] — 0. Hinc 
erit [f, d p] numerus par (propp. 1,3, art. 133), i. e. aut =0 aut = 2. Quare 
erit f aut residuum utriusque numerorum d, p, aut neutrius. Illud autem est 
impossibile, quum ~\r a f sit residuum ipsius d, atque -faNd (hyp.); unde iit 
+fNd. Hinc f debet esse utriusque numerorum d,p non-residuum. At 
propter + afRp erit Q. E. D. 
2) Quando e per p, neque vero per d est divisibilis, sit e=gp, atque 
q~p = dah, signo ita determinato, ut h fiat positivus. Tum erit h <fa, ad 
d, g et p primus, atque pro signo superiori formae 4n-f- 3 , pro inferiori vero 
formae 4 n -j- 1. Ex aequatione g 2 p = d -f-ah si per p et d multiplicatur, 
nullo negotio deduci potest, pdRh (a); -fahpRd — {fi); a a h Rp (y) ■ 
Ex (a) sequitur [pd,h =0, adeoque (propp. 1,3, art. 133) [h,paJ par, i. e. 
14*