THEOREMA FUNDAMENTALE.. 
109 
141. 
Casus quintus. Quando T-\- 1 est formae 4 n -f- 3 (= b), p eiusdem formae, 
atque -\-pRb sive —pNh, nequit esse -fbRp sive —bNp. (Casus ter 
tius supra). 
Sit p = e 2 (mocl. h), atque e paret <Jb. 
I. Quando e per p non est divisibilis. Ponatur e 2 =p-\-bf, eritque f 
positivus, formae 4w-)-3, <fb atque ad p primus. Porro erit pRf adeoque 
per prop, 13 art. 132, —f^P- Hinc et ex -\-bfRp fit —bRp adeoque 
+ bNp. Q.KD. 
II. Quando e per p est divisibilis, sit e—pg, atque ggp= \ -\-bh. 
Tum erit h formae 4 n -j- 1 atque ad p primus, p = g 2 p 2 (mod. h), adeoque 
pRh\ hinc fit -\-hRp (prop. 10 art. 132), unde et ex —bhRp sequitur —bRp, 
sive -\-bNp. Q. JE. D. 
142. 
Casus seoctus. Quando T-\-1 est formae 4 n -j- 3 (='b), p formae 4 n -f- i, 
atque pRb, non poterit esse + bNp. (Supra casus septimus). 
Demonstrationem praecedenti omnino similem omittimus. 
143. 
Casus septimus. Quando T-1-1 est formae 4w-f-3(— b), p eiusdem for 
mae, atque -p Nb sive —pRb, non poterit esse -j-bNp sive —bRp. (Casus 
quartus supra). 
Sit —p — e 2 (mod. b), atque e paret <C&- 
I. Quando e per p non divisibilis. Sit —p~e 2 — bf eritque/ positi 
vus, formae 4^ —j— 1, ad p primus ipsoque b minor (etenim e certo non maior 
quam b—1, p<J,b—1, quare erit bf=e 2 -\-p<fb 2 — b, i.e.f<fb—1). Porro 
erit —JR/, hinc (prop, 10 art. 132) -\-fRp, unde et ex -j-bfRp fit -j-bRp, 
sive — b Np. 
II. Quando e per p est divisibilis, sit e=pg, atque g l p — — 1 ~i-bh. 
Tum erit h positivus, formae 4^ —j— 3, ad p primus et <C/* Porro erit —pRh, 
unde fit (prop. 14 art. 132) -\-hRp. Hinc et ex bhRp sequitur -fbRp sive 
— bNp. Q.E.D.