THEOREMA FUNDAMENTALE.
111
4w-(-l,
iipra).
His ita factis, consideremus primo casum ubi p est formae 4w-f-l, sive q for
mae 8—j— 7 . Tum facile perspicitur fore 2 RE, 2RH, unde pRE, pRH,
hincque tandem ERp, HRp. Porro erit 2 non-residuum cuiusvis factoris for
mae 8w-j-3 aut Sw-j-5, adeoque etiam p; hinc quivis talis factor non-resi
duum ipsius p; unde facile concluditur FG fore ipsius p residuum si f-\-g
fuerit par, non-residuum si f-\-g fuerit impar. At f-\-g impar esse non potest;
:tt. 137..
;um plu
is delec-
;ercitent.
l debuis-
jcta, no-
contem-
\- 2 esse
tae vide-
8 ni —j— 5,
:heorema
inductio-
facile enim perspicietur omnes casus enumerando, EFGH sive q fieri vel formae
8 w-f- 3 vel 8 —j— 5, si fuerit f-\-g impar, quidquid sint singuli e,f,g,-h,' contra
hyp. Erit igitur FGRp, EFGHRp, sive qRp, hincque tandem, propter
aqRp, aRp contra hyp. Secundo quando p est formae 4 ^-f- 3, simili modo
ostendi potest, fore pRE adeoque ERp, —pRF adeoque FRp, tandem
g-\-h parem hincque GHRp, unde tandem sequitur qRp, aRp contra hyp.
II. Quando e per p divisibilis, demonstratio simili modo adornari, et a
peritis (quibus solis hic articulus est scriptus) haud difficulter evolvi poterit. Nos
brevitatis gratia eam omittimus.
Solutio problematis generalis.
146.
Per theorema fundamentale atque propositiones ad residua — 1 et -f- 2
i non es-
= a, ita
iatur nu-
t. 129 fa-
-f- 2pRa.
luo casus
pertinentes semper determinari potest utrum numerus quicunque datus numeri
primi dati residuum sit an non-residuum. At haud inutile erit, reliqua etiam
quae supra tradidimus hic iterum in conspectum producere, ut omnia coniuncta
habeantur quae sunt necessaria ad solutionem
Problematis; Propositis duobus numeris quibuscunque P, Q, invenire, utrum
alter Q, alterius P residuum sit an non-residuum.
Sol. I. Sit P—a a b^c i etc. designantibus a,b,cetc. numeros primos in
ue q po-
-f- 1 vel
. ipsius q
i 8w + 3,
dassis sit
G. H*):
aequales positive acceptos (nam P manifesto absolute est sumendus). Brevitatis
gratia in hoc art. relationem duorum numerorum oc,y simpliciter dicemus eam
quatenus prior x posterioris y residuum est vel non-residuum. Pendet igitur
relatio ipsorum Q, P a relationibus ipsorum Q, a a ;. Q, b rj etc. (art. 1 05).
II. Ut relatio ipsorum Q, a* (de reliquis enim Q, b ,J etc. idem valet) in
notescat, duo casus distinguendi.