134
DE FORMIS SECUNDI GRADUS.
bit, adeoque in hoc casu solutionem completam problematis exhibebit. Illud vero
ita demonstramus.
Ex theoremate art. praec. sequitur in hocce casu, m simul fore divisorem commu
nem numerorum A, 2B, C. Quoniam tt—Duu=mm,iit tt—BBuu — mm—ACuu,
quare tt — BBuu per mm divisibilis erit: hinc etiam a potiori 4tt—4BBuu
adeoque (quia 2B per m divisibilis) etiam 4 tt per mm et proin 21 per m.
Hinc Bu), £[t — Bu) erunt integri, et quidem (quoniam differentia inter
ipsos i^ Bu est par) aut uterque par aut uterque impar. Si uterque impar esset, etiam
productum impar foret, quod tamquam quadruplum numeri ^[tt—BBuu), quem
integrum esse modo ostendimus, necessario par: quare hic casus est impossibilis,
adeoque -% T [t-\-Bu), £[t— Bu) semper pares, unde ±{t -j- Bu), ~{t — Bu)
erunt integri. Hinc vero nullo negotio deducitur, omnes quatuor coefiicientes in
(I) semper esse integros. Q. E. D.
Ex praecedentibus colligitur, si omnes solutiones aequationis tt—Duu = mm
habeantur, omnes transformationes formae [A, B, C) in [a, b, c) transf. datae si
miles inde derivari. Illas vero in sequentibus invenire docebimus. Hic tantum
modo observamus multitudinem solutionum semper esse finitam, quando D sit
negativus, aut positivus simulque quadratus: quando vero D positivus non qua
dratus, infinitam. Quando hic casus locum habet, simulque D non = d (supra 3°),
disquiri insuper deberet, quomodo ii valores ipsorum t, u, qui substitutiones a frac
tionibus liberas, ab iis, qui fractas producunt, a priori dignosci possint. Sed pro
hocce casu infra aliam methodum ab hoc incommodo liberam exponemus (art. 2 14).
Exempl. Forma xx-\~% VV per substitutionem propriam x = 2 x -(- 7y,
ij = x —(— 5y transit in formam (6, 24, 99): desiderantur omnes transformationes
propriae formae illius in hanc. Hic D = — 2, m = 3 , adeoque aequatio sol
venda haec: tt-\-2uu = 9. Huic sex modis diversis satisfit ponendo scilicet
t= 3, —3,1, —1,1, —1; u = 0, 0, 2, 2, —2, — 2 resp. Solutio tertia et sexta
dant substitutiones in fractis, adeoque sunt reficiendae; ex reliquis sequuntur
quatuor substitutiones;
2 x' —(— 7 y
F+5/
(quarum prima est proposita).