134 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
bit, adeoque in hoc casu solutionem completam problematis exhibebit. Illud vero 
ita demonstramus. 
Ex theoremate art. praec. sequitur in hocce casu, m simul fore divisorem commu 
nem numerorum A, 2B, C. Quoniam tt—Duu=mm,iit tt—BBuu — mm—ACuu, 
quare tt — BBuu per mm divisibilis erit: hinc etiam a potiori 4tt—4BBuu 
adeoque (quia 2B per m divisibilis) etiam 4 tt per mm et proin 21 per m. 
Hinc Bu), £[t — Bu) erunt integri, et quidem (quoniam differentia inter 
ipsos i^ Bu est par) aut uterque par aut uterque impar. Si uterque impar esset, etiam 
productum impar foret, quod tamquam quadruplum numeri ^[tt—BBuu), quem 
integrum esse modo ostendimus, necessario par: quare hic casus est impossibilis, 
adeoque -% T [t-\-Bu), £[t— Bu) semper pares, unde ±{t -j- Bu), ~{t — Bu) 
erunt integri. Hinc vero nullo negotio deducitur, omnes quatuor coefiicientes in 
(I) semper esse integros. Q. E. D. 
Ex praecedentibus colligitur, si omnes solutiones aequationis tt—Duu = mm 
habeantur, omnes transformationes formae [A, B, C) in [a, b, c) transf. datae si 
miles inde derivari. Illas vero in sequentibus invenire docebimus. Hic tantum 
modo observamus multitudinem solutionum semper esse finitam, quando D sit 
negativus, aut positivus simulque quadratus: quando vero D positivus non qua 
dratus, infinitam. Quando hic casus locum habet, simulque D non = d (supra 3°), 
disquiri insuper deberet, quomodo ii valores ipsorum t, u, qui substitutiones a frac 
tionibus liberas, ab iis, qui fractas producunt, a priori dignosci possint. Sed pro 
hocce casu infra aliam methodum ab hoc incommodo liberam exponemus (art. 2 14). 
Exempl. Forma xx-\~% VV per substitutionem propriam x = 2 x -(- 7y, 
ij = x —(— 5y transit in formam (6, 24, 99): desiderantur omnes transformationes 
propriae formae illius in hanc. Hic D = — 2, m = 3 , adeoque aequatio sol 
venda haec: tt-\-2uu = 9. Huic sex modis diversis satisfit ponendo scilicet 
t= 3, —3,1, —1,1, —1; u = 0, 0, 2, 2, —2, — 2 resp. Solutio tertia et sexta 
dant substitutiones in fractis, adeoque sunt reficiendae; ex reliquis sequuntur 
quatuor substitutiones; 
2 x' —(— 7 y 
F+5/ 
(quarum prima est proposita).