154
DE FORMIS SECUNDI GRADUS.
haec ad formas determinantis negativi non est restricta, sed ad omnes casus patet,
si modo nullus numerorum d, a , d" etc. = 0.
178.
Problema. Propositis duabus formis F, f, eiusdem determinantis negativi,
proprie aequivalentibus: invenire transformationem aliquam propriam alterius in al
teram.
Sol. Supponamus formam F esse [A, B, A) et per methodum art. 171 in
ventam esse progressionem formarum (A', B', A"), {A r , B", A") etc. usque ad
(.A m , B m , A m+X ), quae sit reducta: similiterque f esse [a, b, d) et per eandem me
thodum inventam seriem [d, b', a"), [d', b”, d") usque ad [a n , b n , a w+1 ), quae sit re
ducta. Tum duo casus locum habere possunt.
I. Si formae (A m , B m , A m + X ), [a n , b n , a n+x ) sunt aut identicae, aut oppo
sitae simulque ancipites. Tum formae (A m ~ x , B m ~~ x , A m ), [g n , — b n ~ x , a n ~~ x ) erunt
contiguae (designante A m ~ 1 terminum progressionis A, A, A'... A m penultimum,
similiaque B m ~\ a n ~ x , b n ~ x ). Nam A m == a n , B m ~ x = — B m {mod. A m \
b n ~ x = —b n (mod. a n sive A m ), unde B m ~ 1 — b n ~~ x = b n — B m adeoque =0, si
formae (A m , B m , A m + X ), [a n ,b n ,a n+x ) sunt identicae, et =2 b n adeoque =0, si
sunt oppositae et ancipites. Quare in progressione formarum
{A, B, A), [A, B, A').... [A m - X , B m ~ x , A m ),
(a n , —b n ~ x , a n ~ x ), [a n ~ x , — b n ~\ a n ~ 2 )... [d, — b, a), {a, b, d)
quaevis forma praecedenti contigua erit, adeoque per art. praec. transformatio
propria primae F in ultimam f inveniri poterit.
II. Si formae (A m , B m , A mJtX ), {a n , b n , a nJrX ) non identicae, sed oppositae
simulque A m = A mJrX = a n = a n+x . Tum progressio formarum
(A, B, A), (.A, B, A).... [A n , B m , A m+1 ),
[a n , — b n ~ x , a n ~ x ), {a n ~ x t — b n ~\ a n ~ 2 ).... {d, —b, d), (a, b, d)
eadem proprietate erit praedita. Nam A 171 ^ 1 = a n , et B m — b n ~ 1 = — (b n -f- b n ~~ l
per a n divisibilis. Unde per art. praec. invenietur transformatio propria formae
primae F in ultimam f.
