160 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
duo quadrata inter se prima discerpi) nullus numerus potest nisi cuius residuum 
quadraticum est — 1 , tales vero numeri, positive accepti, omnes poterunt. Sit 
M talis numerus, omnesque valores expr. \j—1 (mod.M) hi: N, — N : N', —N', 
N". —N" etc. Tum per art. 176 forma {M, N, -fp—-) formae (1, 0, 1) proprie 
aequi valens erit. Sit transformatio aliqua propria huius in illam, x = ax -\-fiy, 
y = y<2?' —(— eruntque repraesentationes numeri M per formam xx-\-yy ad 
N pertinentes hae quatuor # ): ¿p = + a, y = + y; ¿r = + y, .y = + a . 
Quum forma (l, 0, 1) sit anceps, patet, etiam formam [M, —N, ) 
ipsi proprie aequivalentem fore, illamque proprie in hanc transmutari positis 
x = ax — fiy, y = —yod -\-hy. Hinc derivantur quatuor repraesentationes 
ipsius M ad —N pertinentes, ¿£= + a, y — +y; ¿p=+y, y—-\-a. Manifestum 
itaque est, octo repraesentationes ipsius M dari, quarum semissis altera ad N, 
altera ad — N pertineat; sed hae omnes unicam tantummodo discerptionem nu 
meri M in duo quadrata exhibent, M = a a -f- y 7, siquidem ad quadrata ipsa 
tantum, neque vero ad ordinem radicumve signa spectamus. 
Quodsi itaque alii valores expr. \J — 1 (mod. M) praeter N et — N non dan 
tur, quod e. g. evenit, quando M est numerus primus, M unico tantum modo 
in duo quadrata inter se prima resolvi poterit lam quum — 1 sit residuum 
quadraticum cuiusvis numeri primi formae 4 n-\-\ (art. 108), manifestoque nu 
merus primus in duo quadrata inter se non prima discerpi nequeat, habemus 
theorema: 
Quivis numerus primus formae 4 n -j- 1 in duo quadrata decomponi potest, et 
quidem unico tantum modo. 
1 = 0+ 1, 5 = 1 +4, 13 = 4 + 9, 17 = 1 + 16, 29 = 4 + 25, 37 = 1 + 36, 
41 =16 + 25, 53 = 4 + 49, 61 = 25+ 36, 73 = 9 + 64, 89 = 25 + 64, 
97 = 16 + 81 etc. 
Theorema hoc elegantissimum iam Fermatio notum fuit, sed ab ili. Eulero 
primo demonstratum est, Comm. nov.Petr. T. V, ad annos 17 54, 17 55, p. 3 sqq. 
In T. IV, diss. exstat ad idem argumentum pertinens, p. 3 sqq., sed tum rem 
penitus nondum absolverat, vid. imprimis art. 27. 
*) Patet enim, hunc casum sub (2) art. 180 contentum esse.