DETERMINANTES NEGATIVI. 
161 
Si igitur numerus aliquis formae 4 /г —(— 1 aut pluribus modis aut nullo modo 
in duo quadrata resolvi potest, certo non erit primus. 
Vice versa autem , si expr. \J — 1 (mod. M) praeter N et — N alios adhuc 
valores habet, aliae adhuc repraesentationes ipsius M dabuntur, ad hos pertinen 
tes. In hoc itaque casu M pluribus modis in duo quadrata resolvi poterit e. g. 
65 = 1 + 64 = 16 + 49, 221 = 25+ 196 = 100 + 121. 
Repraesentationes reliquae, in quibus x, у valores obtinent non primos 
inter se, per methodum nostram generalem facile inveniri possunt. Observamus 
tantummodo, si numerus aliquis factores formae 4 n + 3 involvens, per nullam 
divisionem per quadratum ab his liberari possit (quod fiet, si aliquis aut plures 
talium factorum dimensionem imparem habet), hunc nullo modo in duo quadrata 
resolvi posse *). 
II. Per formam ^ж+2 у у nullus numerus, cuius non-residuum —2. ita 
repraesentari potest, ut x ad у sit primus, reliqui omnes poterunt. Sit — 2 resi 
duum numeri M, atque N valor aliquis expr. \J— 2(mod.M). Tum per art. 176 
formae (1,0,2), [M, N, —j^—) proprie aequivalentes erunt. Transeat illa proprie 
in hanc ponendo x ~ ax-\- 6+ у = x'-\- Ьу, eritque х = а, у = y repraesen 
tatio numeri M ad N pertinens. Praeter quam et hanc x = —a, y — —у 
aliae ad N non pertinebunt (art. 180). 
Simili modo, ut supra, perspicitur, repraesentationes x = ^r.a, y = +y 
ad valorem — N pertinere. Omnes vero hae quatuor repraesentationes unicam 
tantum discerptionem ipsius M in quadratum et quadratum duplex exhibent, 
et si praeter N et —N alii valores expr. \J — 2(mod.M) non dantur, aliae 
discerptiones non dabuntur. Hinc adiumento proposs. art. 116 facile deducitur 
theorema: 
# ) Si numerus M = 2 ^ Sn a b^ ... ita ut a, b, c etc. sint numeri primi inaequales formae 4« + i, atque 
-V productum ex omnibus factoribus primis ipsius M formae 4 n + 3 (ad quam formam quivis numerus positivus 
reduci potest, faciendo p. = о quando Ж est impar, et N = 1 quando M nullos factores formae 4?г + 3 impli 
cat): M nullo modo in duo quadrata resolvi poterit, si iS est non - quadratus; sivero S est quadratus, da 
buntur |-(a + i)(6+ i)(y + i) etc. discerptiones ipsius M, quando aliquis numerorum a, 6, у etc. est impar, 
aut -» (a + l) (6 + l) (y + l) etc. + , quando omnes ot, 6, у etc. sunt pares (siquidem ad quadrata ipsa tantum 
respicitur). Qui in calculo corabinationum aliquantum sunt versati, demonstrationem huius theorematis (cui. 
perinde ut aliis particularibus, immorari nobis non licet) ex theoria nostra generali haud difficulter eruere pote 
runt. Cf. art. 105. ч 
21