162 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
Quivis numerus'primus formae 8 n + 1 vel S ta —}— 3 in quadratum et quadratum 
duplex decomponi potest et quidem unico tantum modo. 
1 = 1 —J— 0, 3 = 1 + 2, 11 = 9 + 2, 17 = 9 + 8, 19=1 + 18, 41=9 + 32. 
43 = 25 + 18, 59 = 9 + 50, 67 = 49 + 18, 73 = 1 + 72, 83 = 81 + 2, 
89 = 81 + 8, 97 = 25 + 72 etc. 
Etiam hoc theorema, uti plura similia, Eermatio innotuit: sed ili. La 
Grange primus demonstrationem dedit, Suite des recherches d’Arithmétique, Nouv. 
Mém. de l’Ac. de Berlin 177 5, p. 323 sqq. Multa ad idem argumentum pertinentia 
iam ili. Euler absolverat, Specimen de usu observationum in mathesi pura Comm. 
nov. Petr. T.VI p. 185 sqq. Sed demonstratio completa theorematis semper ipsius 
industriam elusit, p. 220. Conf. etiam diss. in T. VIII (ad annos 17 60, 1761}, 
Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, sub fin. 
III. Per methodum similem demonstratur, quemvis numerum, cuius resi 
duum quadr. sit —3 , repraesentari posse aut per formam xx-\-?>yy, aut per 
hanc 2xx-\~ 2xy + 2yy, ita ut valor ipsius x ad valorem ipsius y sit primus. 
Quare quum — 3 sit residuum omnium numerorum primorum formae 3 n + l 
(art. 119) manifestoque per formam 2xx-j- 2xy + 2 y y numeri pares tantum re 
praesentari possint : eodem modo ut supra habetur theorema : 
Quivis numerus primus formae 3n + 1 in quadratum et quadratum triplex de 
componi potest, et quidem unico tantum modo. 
1 = 1 + 0, 7 = 4 + 3, 13 = 1 + 12, 19 = 16 + 3, 31 =4 + 27, 37 = 25+ 12, 
43 = 16 + 27, 61 =49 + 12, 67 = 64 + 3, 73 = 25 + 48 etc. 
Demonstrationem huius theorematis ill. Euler primus tradidit in commen 
tatione modo laudata, Comm. nov. Petr. T. VIII, p. 105 sqq. 
Simili modo ulterius progredi et e.g. ostendere possemus, quemvis numerum 
primum formae 20 n + 1, vel 20 n + 3 , vel 20 n + 7 , vel 20 n + 9 (quippe 
quorum residuum —5) per alterutram formam xx-\- 5yy, 2xx-\- 2 xy + 3yy 
repraesentari posse, et quidem numeros primos formae 20^+1 et 20w + 9 per 
priorem, primos formae 20^+3, 20^ + 7 per posteriorem, nec non dupla pri 
morum formae 20^+1, 20^+9 per formam 2xx-\-2xy-\-3yy, dupla pri 
morum formae 20 n-\- 3, 20 n + 7 per formam xx-\-hyy: sed hanc propositio 
nem infinitasque alias particulares quivis proprio marte ex praecedentibus et infra