DE NUMERORUM CONGRUENTIA 
Sint f, g valores congrui ipsius x. Tum ex art.praec. f a =g a et Af a = Ag a 
eodemque modo Bf h = Bg b etc. Hinc 
A/“+Bf b +Cf c +etc. = Cy+ete. Q. E. D. 
Ceterum facile intelligitur, quomodo hoc theorema ad functiones plurium 
indeterminatarum extendi possit. 
10. 
Quodsi igitur pro x omnes numeri integri consecutivi substituuntur, valores- 
que functionis X ad residua minima reducuntur, haec seriem constituent, in qua 
post intervallum m terminorum (designante m modulum) iidem termini iterum re 
currunt; sive haec series em periodo m terminorum infmities repetita, erit formata. 
Sit e. g. X = x 7, —8<27-|-6 et m=5; tum pro x=0, 1, 2, 3 etc., valores ipsius X 
haec residua minima positiva suppeditant, 1,4, 3, 4, 3, 1,4 etc., uhi quina priora 
1, 4, 3, 4, 3 in infinitum repetuntur; atque si series retro continuatur, i. e. ipsi x 
valores negativi tribuuntur, eadem periodus ordine terminorum inverso prodit: 
unde manifestum est, terminos alios quam qui hanc periodum constituant in tota 
serie locum habere non posse. 
11. 
In hoc igitur exemplo X neque =0, neque =2 (mod. 5) fieri potest, rnulto- 
que minus =0, aut —2, Unde sequitur, aequationes x s —8«*?—(— 6 = 0, et x s —Hx 
—J— 4 = 0 per numeros integros et proin, uti notum est, per numeros rationales solvi 
non posse. Generaliter perspicuum est, aequationem X —0, quando X functio 
incognitae x, huius formae 
x n -\-Ax n - x -\-Bx n -*-\-e tc. + N 
A,B,Cetc. integri, atque n integer positivus, (ad quam formam omnes aequationes 
algebraicas reduci posse constat) radicem rationalem nullam habere, si congruen 
tiae X=0 secundum ullum modulum satisfieri nequeat. Sed hoc criterium, quod 
hic sponte se nobis obtulit, in Sect.VIII fusius pertractabitur. Poterit certe ex hoc 
specimine notiuncula qualiscunque de harum investigationum utilitate efformari.