206
DE FORMIS SECUNDI GRADUS.
aut y valores fractos obtinent. Manifesto vero ex duabus primis aequationibus
sequitur
gM—gdd oM-fdd
1 G & (g/—
quos valores semper determinatos fore inde manifestum quod bf — cg=2 h, ad-
eoque numerator certo non — 0. Ceterum ex eodem principio, puta resolubi-
litate cuiusvis formae determinantis quadrati in binos factores, etiam reliqua pro
blemata solvi potuissent: sed methodo ei quam supra pro formis determinantis
non-quadrati tradidimus analoga etiam hic uti maluimus.
Ex. Quaeruntur omnes repraesentationes numeri 12 per formam 3'a?<r +
Axy — 7 yy. Haec resolvitur in factores x—y et dx-\-7y. Omnes divisores
numeri 12 sunt +1,2,3,4,6,12. Positis x—y = 1 , Zx-\-7y= 12 fit
a 1 = PP, y = T V, qui valores tamquam fracti sunt reiiciendi. Eodem modo ex
divisoribus — C±3, + 4, + 6, + 12 valores inutiles obtinentur; ex divisore
+ 2 vero obtinentur valores o? = 2 , ^ = 0 , et ex divisore —2 hi x=—2,
y = 0 ; praeter has duas repraesentationes igitur aliae non dantur.
t
Methodus haec adhiberi nequit, si 31=0. In hoc casu manifestum est
omnes valores ipsorum x, y aut aequationi §x—fiy=0, aut huic fx—gy = 0
satisfacere debere. Omnes autem solutiones aequationis prioris continentur in
formula x = t)z, y = dz, designante z indefinite numerum integrum quemcun
que (siquidem uti supponitur b, 6 inter se primi sunt); similiterque ponendo di
visorem communem maximum numerorum f,g, =m, omnes solutiones aequatio
nis posterioris exhibebuntur per formulam x = ^, y = ~. Quare hae duae for
mulae generales omnes repraesentationes numeri 31 in hoc casu complectentur.
X # *
*
In praecedentibus omnia quae ad cognoscendam aequivalentiam et ad inve
niendas omnes transformationes formarum nec non ad repraesentationes omnes
numerorum datorum per formas datas indagandas pertinent, ita sunt explicata, ut
nihil amplius desiderari posse videatur. Superest itaque tantummodo, ut propo
sitis duabus formis quae propter determinantium inaequalitatem aequivalentes esse
nequeunt, diiudicare doceamus, annon altera sub altera contenta sit, et in hoc
casu omnes transformationes illius in hanc invenire.
