FORMAE SUB ALIIS CONTENTAE. 
209 
Ponamus 0 esse {M; K), atque e = MN ita ut / in 0 per substitutio 
nem propriam M, K, 0, N transeat. Porro designentur omnes transformationes 
propriae formae 0 in F indefinite per a, B, c, b. Tum manifesto f transibit in 
(I) per substitutionem propriam Ma-\-Kc, Mhf-Kh, Nc, Nh, et hoc modo ex 
quavis transformatione propria formae <i> in F sequetur transformatio propria 
formae f in F Eodem modo tractandae sunt formae reliquae <E, 0" etc., 
quarum singulae transformationes propriae in F transformationem propriam for 
mae f in F praebebunt. 
I T t appareat, hanc solutionem ex omni parte completam esse, ostendendum erit 
1. Hoc modo omnes transformationes'proprias possibiles formae f in F obti 
neri. Sit transformatio quaecunque propria formae f in F haec a, b, y, d atque 
ut in art. praec. II, n divisor communis maximus numerorum y, d; numeri 
m, g, h, k autem eodem modo ut illic determinati. Tunc forma (m; k) erit inter 
formas 0, 0' etc., et 
Y a gf + 6 h — k , j■ S a g + 6 h — k y o 
aliqua ex transformationibus propriis huius formae in F\ ex hac vero per regu 
lam modo traditam obtinetur transformatio a, b, y, d; haec omnia in art. praec. 
sunt demonstrata. 
II. Omnes transformationes hoc modo prodeuntes inter se diversas esse, seu 
nullam bis obtineri. Nullo quidem negotio perspicitur, plures transformationes 
diversas eiusdem formae ( I> vel 0' etc. in F eandem transformationem formae f 
in F producere non posse; quod vero etiam formae diversae e. g. 0 et 0 ean 
dem transformationem suppeditare nequeant, ita demonstratur. Supponamus, 
transformationem propriam a, b, y, d formae f in F obtineri tum ex transforma 
tione propria a, B, c, b formae in F, tum ex transformatione propria a, B, c, b 
formae <B' in F. Sit 0 = {M; K), <DK'), e=MN=M'N'. Habe 
buntur itaque aequationes 
a = Ma + Kc = + . [1] 
= MB-j-i£b ■= M'V-\-K"d [2]