214 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
G{a® + $$), |-b£), G[ y® + 8$), H(y® + 8£) 
sive 
a + $(ioG — aH), —tG) 
y -f- $@G— yH), 8 + ®(y.H — 8 6?) 
Sed quoniam 
n(aX + SF) 2 +26(aX+6F)(yX+£F)H- c (yX+£F) 2 = Jf(GX+#F) 2 
erit 
a[aS — by) 2 = Jf(fi G — yH) 2 
- c(6y —a£) 2 = M[$G—aHf 
adeoque (quum determinans formae /* per [a 8 — fi y) 2 multiplicatus aequalis sit 
determinanti formae F i. e. =0, adeoque etiam a $ — by = 0), 
SG — yiZ == 0, $G — aH = 0 
Hinc substitutio illa transit in hanc a, f), y, S, unde patet, formulam traditam 
omnes transformationes formae f in F suppeditare. 
III. Superest ut omnes repraesentationes numeri dati per formam datam 
determinantis 0 exhibere doceamus. Sit forma haec m [goc-\- hyf, patetque 
statim, numerum illum per m divisibilem, et quotientem quadratum esse debere. 
Si itaque numerus propositus statuitur =mee, perspicuum est, pro quibus va- 
loribus ipsorum x, y fiat m[gx -f- hy) 2 =■ mee, pro iisdem fieri gx-{~hy aut 
= -\-e, aut = —e. Quare omnes repraesentationes habebuntur, si omnes 
solutiones aequationum linearium gx-\-hy = e, gx-\-hy = — e in integris, sunt 
inventae. Has vero solubiles esse constat (siquidem g, h sunt inter se primi ut 
supponitur). Scilicet si g, f) ita determinantur ut sit $g -f- \)h — 1, aequationi 
priori satisfiet ponendo x = §e hz, y = l)e—gz\ posteriori vero faciendo 
x = —ge-f-hz, y =-—f)e—gz, denotante z integrum quemcunque. Simul 
vero formulae hae omnes valores integros ipsorum x, y exhibent, si z indefinite 
numerum quemvis integrum designare supponitur.