SOLUTIO AEQUATIONUM INDETERMINATARUM.
219
X
У
-4- Ь X % ( bd - ae )— ^ibe-cd)
ЬЪ — ac
£52' n x ^{bd — ae)~SS{be — cd)
bh — ac
quam aut pro omnibus valoribus ipsius z' aut pro nullo valores integros ipsorum
y praebere manifestum est, et quidem casus prior semper locum habebit, quando
%[bd—a e) et 59 [h e — cd) sec. mod, bh — ac sunt congrui, posterior quando
sunt incongrui. Prorsus eodem modo tractanda erit formula [2 1 , solutiones
que in integris (si quas praebere potest) a reliquis separandae.
219.
Quando bh — ac = 0, forma axx-{- 2bxy -f- cyy exhiberi poterit ita:
m[ax-\- dy) 2 , ubi m, a, d sunt integri (art. 215). Ponatur ах-^-'ву = z, trans-
itque aequatio proposita in hanc:
mzz-\- 2dx-\- 2ey-\-f = 0
unde et ex z ~ ax-\-fiy, deducitur
6msz + 2es + 6/ amzz Ц- 2dz + nf
^ 2 a e — 2 &d ’ У 2 6 c? — 2 a e
lam patet, nisi fuerit ae = dd (quem casum statim seorsim considerabimus),
valores ipsorum x, у, ex his formulis deductos tribuendo ipsi z valorem quem
cunque, aequationi propositae satisfacere; quare nihil superest, nisi ut eos va-
lores ipsius z determinare doceamus, ex quibus valores integri ipsorum x, у se
quantur.
Quoniam ax -j- % = z\ necessario pro 2 numeri integri tantum accipi
possunt; praeterea vero manifestum est, si aliquis valor ipsius z tum ipsum x
tum ipsum у integrum reddat, omnes valores ipsius z illi secundum modulum
'lae— 2 fid congruos itidem valores integros producere, Quodsi itaque pro z
omnes numeri integri a 0 usque ad ‘lae—2 fid—1 (quando a e — dc/ est posi
tivus) aut ad 2 fid—2ae— 1 (quando a e — df/ est negativus) incl. substituuntur,
et pro nullo horum valorum tum x tum у integri fiunt, nullus omnino valor ipsius
z valores integros ipsorum x, у producet, aequatioque proposita in integris nullo
modo poterit resolvi; si vero quidam ex illis valoribus ipsius z ipsis x, у valores
integros conciliant, puta hi 4, 4', 4" etc. (quos etiam per solutionem congruentia
rum secundi gradus ex principiis sect. IV invenire licet); omnes solutiones prodi-
28*