COMPOSITIO FORMARUM.
245
Hinc habetur conclusio tertia: Numeri a, 2b, c proportionales sunt numeris
P, P — S, U, positaque illorum ratione ad hos ut 1 ad n, erit n radix quadrata ex
<1 --; similiterque numeri a!, 2 b', c' ad Q, R-\-S, T eandem rationem habent, quae
U
d
si ponitur esse ut 1 ad n, erit n radix quadrata ex ~ •
Ceterum quantitates n, n radices vel positivae vel negativae ex
possunt, unde distinctionem petimus, quae primo aspectu sterilis videbitur, sed
cuius usus in sequentibus sufficienter apparebit. Scilicet dicemus, in transforma
tione formae F in ff' formam f accipi directe quando n est positiva, inverse
quando n negativa; similiterque f' accipi directe vel inverse, pront n positiva vel
negativa. Accedente autem conditione ut k sit = 1, forma F vel ex utraque
forma f, f' directe composita, vel ex utraque inverse vel ex f directe et ex f'
inverse, vel ex f inverse et ex f' directe dicetur, prout vel n, n ambae sunt
positivae, vel ambae negativae, vel prior positiva posterior negativa, vel prior
negativa posterior positiva. Ceterum quisque facile intelliget, has relationes ab
ordine quo formae f, f' collocantur (vid, annot. prim. ad art. praes.) non pendere.
Porro observamus , divisorem maximum communem numerorum P, Q, P,
IS, T, U puta k metiri numeros mn, mn (uti ex valoribus supra stabilitis mani
festum est) adeoque quadratum kk ipsos mmnn, mm'nn, atque Dkk ipsos
d'mm, dmm. Sed et vice versa quivis divisor communis ipsorum mn, mn me
tietur ipsum k. Sit enim e talis divisor, qui manifesto etiam numeros an, 2 b n,
cn', dn, ’2b'n, cn metietur, i. e. numeros P, P — S, U, Q, R-\-S, T et proin
etiam ipsos 2R et 2S. lam si ^ esset numerus impar, etiam ~ impar esse
deberet (quoniam summa et differentia sunt pares) adeoque etiam productum impar.
Hoc autem productum fit =~{h'b'nn — bbnn) = ~{d'nn-\-dcnn — dnn — acrin)
— ~[acnn — acnn) adeoque par, quia e ipsos dn, cn, an, cn metitur. Quare
^ necessario erit par, et proin R nec non S per e divisibilis. Quoniam igitur
e omnes sex P, Q, R, S, T, U metitur, metietur etiam ipsorum divisorem com
munem maximum k. Q. E. D Hinc concluditur, k esse divisorem commu
nem maximum numerorum mn, mn; unde facile perspicietur, I) k k fore divi
sorem communem maximum numerorum dmm, d'mm. Quae est conclusio quarta.
Patet itaque, quoties F ex f et f' composita sit, D fore divisorem communem
maximum, numerorum drnm, d'mm, et vice versa; quae proprietas etiam tam
quam definitio formae compositae adoptari potuisset. Forma igitur composita e