MULTITUDINES CLASSIUM IN SINGULIS GENERIBUS CONTENTARUM.
277
bemus itaque regulam generalem: Denotantibus K, L classes quascunque ordinis
0, atque r multitudinem classium proprie primitivarum diversarum eiusdem de
terminantis, quae singulae cum K compositae ipsam L producunt, multitudo
omnium classium in ordine proprie primitivo (positivo) r vicibus maior erit quam
multitudo classium ordinis O.
Quum classes K, L in ordine O omnino ad libitum assumi possint, etiam
classes idénticas accipere licebit, et quidem e re erit ea classe uti. in qua conti
netur forma huius ordinis simplicissima. Quam itaque pro K et L assumendo,
res eo reducta est, ut omnes classes proprie primitivae assignentur, quae cum K
compositae ipsam K reproducant. Huc via sternitur per sequens
254.
Theorema. Si F = (A, B, C) est forma simplicissima ordinis O determi
nantis D, atque f = [a, b, c) forma proprie primitiva eiusdem determinantis: per
hanc formam f repraesentari poterit numerus A A, si F oritur per compositionem
formarum f, F; et vice versa F eoo se ipsa atque f composita erit, si A A per f
repraesentari potest.
Dem. 1. Si F in productum fF transit per substitutionem p, p.p",pl"\
q, q, q", q"\ ex art.235 habemus
A [a q q— 2 h q q-\- cqq) — A s , unde A A = a qq — 2 h q q-f-cqq. Q. E. P.
II. Si supponitur, A A per f repraesentari posse, designentur valores indeter
minatarum per quos hoc efficitur per q—q, sive sit AA = aqq"—2 bqq"-\-cqq,
ponaturque
q"a — q[h-\-B) = Ap, — qC = Ap', q {b — B) — qc — Ap'
— q'C = Ap", qa — q{b — B) == Aq, q"[b-\-B) — qc = Aq"
Quo facto, facile confirmatur, F transire in productum fF per substitutionem
jt>, p, p", p”\ q, q, q", q", atque adeo ex / et F compositam esse, si modo omnes
numeri p, p' etc. sint integri. lam per descriptionem formae simplicissimae, B
est vel 0 vel \A, adeoque J integer; indidem patet,semper esse integrum.
Hinc q—p,p,q"—p",p" erunt integri, superestque adeo tantummodo, ut pro
betur p et p esse integros. Fit autem