« 
tiumero- 
i metie- 
’ ipsum 
-i'; ha- 
3ilis erit 
fi=zrp, 
hh h'h' 
rr 
e ipsum 
^ativus), 
in qua 
it vel 0 
4 D 
-r- A esse 
AA 
ue adeo 
. Hinc 
q = 1, 
i A sive 
i, unde 
quadra- 
uam 3; 
n omni- 
etc. ad 
nsitione 
'sse suf- 
semper 
)mnium 
essionis 
mae pr. 
tituunt. 
proprie 
ropriam 
3US non 
P -. q, r 
MULTITUDINES CLASSIUM IN SINGULIS GENERIBUS CONTENTARUM. 283 
idem ut illic, etiam hic erit —^ integer, at non amplius negativus sed positivus 
insuperque quadratus, quo posito = gg, erit —ggqq= 4, Q. E. A., quia 
differentia duorum quadratorum nequit esse 4, nisi quadratum minus fuerit 0; 
quamobrem suppositio consistere nequit. 
Pro casu tertio autem, ubi D est numerus positivus non quadratus, re 
gulam generalem pro comparanda multitudine formarum pr. primitivarum in 
V, V', V" etc. cum multitudine classium diversarum inde resultantium hucusque 
non habemus. Id quidem asserere possumus, hanc vel illi aequalem vel ipsius 
partem aliquotam esse; quin etiam nexum singularem inter quotientem horum 
numerorum et valores minimos ipsorum t, u aequationi tt — Duu = A A satis 
facientes deteximus, quem hic explicare nimis prolixum foret; an vero possibile 
sit, illum quotientem in omnibus casibus ex sola inspectione numerorum D, A 
cognoscere (ut in casibus praecc.), de hac re nihil certi pronunciare possumus. 
Ecce quaedam exempla, quorum numerum quisque facile augere poterit. Pro 
D = 13, A — 2 , multitudo formarum pr. prim. in V etc. est 3, quae omnes 
sunt aequivalentes sive unicam classem efficiunt; pro D — 37, A = 2, etiam 
tres formae pr. prim. in I r etc. habentur, quae ad tres classes diversas pertinent; 
pro D = 588, A = 7, habentur octo formae pr. prim. in V etc. quae efficiunt 
quatuor classes, pro D = 867, A — 17 in V etc. sunt 18 formae pr. primitivae, 
totidem pro D = 1 44 5, A = 17, sed quae pro illo determinante in duas classes 
discedunt, pro hoc in sex. 
VI. Ex applicatione huius theoriae generalis ad eum casum, ubi O est 
ordo improprie primitivus, colligitur, multitudinem classium in hoc ordine con 
tentarum fore ad multitudinem omnium classium in ordine proprie primitivo, ut 
1 ad multitudinem classium proprie primitivarum diversarum, quas hae tres formae 
(1, 0, —D), (4, 1, (4, 3, '^ = ~) efficiunt. Et quidem hinc resultabit unica 
classis, quando D = 1 (mod. 8), quia in hoc casu forma secunda et tertia sunt 
improprie primitivae; quando vero D= 5 (mod. 8), illae tres formae omnes erunt 
proprie primitivae totidemque classes diversas producent, si D est negativus, unico 
casu excepto, ubi D — — 3, in quo unicam classem constituunt; denique casus 
ubi 1) est positivus (formae 8«-|- 5) ad eos pertinet, pro quibus regula generalis 
hactenus desideratur. Id tamen asserere possumus, illas tres formas in hoc casu 
36*