«
tiumero-
i metie-
’ ipsum
-i'; ha-
3ilis erit
fi=zrp,
hh h'h'
rr
e ipsum
^ativus),
in qua
it vel 0
4 D
-r- A esse
AA
ue adeo
. Hinc
q = 1,
i A sive
i, unde
quadra-
uam 3;
n omni-
etc. ad
nsitione
'sse suf-
semper
)mnium
essionis
mae pr.
tituunt.
proprie
ropriam
3US non
P -. q, r
MULTITUDINES CLASSIUM IN SINGULIS GENERIBUS CONTENTARUM. 283
idem ut illic, etiam hic erit —^ integer, at non amplius negativus sed positivus
insuperque quadratus, quo posito = gg, erit —ggqq= 4, Q. E. A., quia
differentia duorum quadratorum nequit esse 4, nisi quadratum minus fuerit 0;
quamobrem suppositio consistere nequit.
Pro casu tertio autem, ubi D est numerus positivus non quadratus, re
gulam generalem pro comparanda multitudine formarum pr. primitivarum in
V, V', V" etc. cum multitudine classium diversarum inde resultantium hucusque
non habemus. Id quidem asserere possumus, hanc vel illi aequalem vel ipsius
partem aliquotam esse; quin etiam nexum singularem inter quotientem horum
numerorum et valores minimos ipsorum t, u aequationi tt — Duu = A A satis
facientes deteximus, quem hic explicare nimis prolixum foret; an vero possibile
sit, illum quotientem in omnibus casibus ex sola inspectione numerorum D, A
cognoscere (ut in casibus praecc.), de hac re nihil certi pronunciare possumus.
Ecce quaedam exempla, quorum numerum quisque facile augere poterit. Pro
D = 13, A — 2 , multitudo formarum pr. prim. in V etc. est 3, quae omnes
sunt aequivalentes sive unicam classem efficiunt; pro D — 37, A = 2, etiam
tres formae pr. prim. in I r etc. habentur, quae ad tres classes diversas pertinent;
pro D = 588, A = 7, habentur octo formae pr. prim. in V etc. quae efficiunt
quatuor classes, pro D = 867, A — 17 in V etc. sunt 18 formae pr. primitivae,
totidem pro D = 1 44 5, A = 17, sed quae pro illo determinante in duas classes
discedunt, pro hoc in sex.
VI. Ex applicatione huius theoriae generalis ad eum casum, ubi O est
ordo improprie primitivus, colligitur, multitudinem classium in hoc ordine con
tentarum fore ad multitudinem omnium classium in ordine proprie primitivo, ut
1 ad multitudinem classium proprie primitivarum diversarum, quas hae tres formae
(1, 0, —D), (4, 1, (4, 3, '^ = ~) efficiunt. Et quidem hinc resultabit unica
classis, quando D = 1 (mod. 8), quia in hoc casu forma secunda et tertia sunt
improprie primitivae; quando vero D= 5 (mod. 8), illae tres formae omnes erunt
proprie primitivae totidemque classes diversas producent, si D est negativus, unico
casu excepto, ubi D — — 3, in quo unicam classem constituunt; denique casus
ubi 1) est positivus (formae 8«-|- 5) ad eos pertinet, pro quibus regula generalis
hactenus desideratur. Id tamen asserere possumus, illas tres formas in hoc casu
36*