298 
DE FORMIS SECUNDI GRADUS. 
Methodus peculiaris, numeros primos in duo quadrata decomponendi. 
265. 
Ex disquisitionibus artt. 257, 258 supra multitudine classium ancipi tum, 
quibus omnia praecedentia sunt superstructa, multae aliae conclusiones atten 
tione perdignae deduci possunt, quas brevitatis caussa supprimere oportet; se 
quentem tamen, elegantia sua insignem, praeterire non possumus. Pro determi 
nante positivo p, qui est numerus primus formae 4 n -f- 1 , unicam tantummodo 
classem ancipitem proprie primitivam dari ostendimus; quapropter omnes formae 
ancipites proprie primitivae talis determinantis proprie aequivalentes erunt. Si 
itaque b est numerus integer positivus proxime minor quam \]p, atque p — bb 
= d, formae (1,6, — d), (—1 ,b,d), proprie aequivalebunt, adeoque, quum utra 
que manifesto sit forma reducta, altera in alterius periodo erit contenta. Tribuendo 
formae priori in periodo sua indicem 0, index posterioris necessario erit impar (quo 
niam termini primi harum duarum formarum signa opposita habent); ponatur ita 
que = 277Z —{— 1. Porro facile perspicitur, si formae indicum 1,2, 3 etc. resp. sint 
{—d, b\ d'), {d',b",—d n ), {—d\b”\d'"fe tc. 
indicibus 2m, 2m — 1, 2m — 2, 2m— 3 etc. responsuras esse formas 
(.d, 6,-1), (— d', b\ d), {d", b", —d'), [—d"\ b'", a'") etc. 
Hinc colligitur, si forma indicis m sit [A, B, C), eandem fore (— C, B,—A), 
adeoque C=—A et p = BB-\~ A A. Quare quivis numerus primus formae 
in duo quadrata decomponi potest (quam propositionem supra, art. 182, 
e principiis prorsus diversis deduximus), et ad talem decompositionem pervenire 
possumus per methodum simplicissimam et omnino uniformem, scilicet per evolu 
tionem periodi formae reductae, cuius determinans est ille numerus primus et cu 
ius terminus primus 1, usque ad formam, cuius termini externi magnitudine sunt 
aequales, signis oppositi. Ita e.g. pro p = 233 habetur (1,15, — 8), (—8,9,19), 
(19,10,-7), (—7,11,16), (16,5, —13), (—13,8,13), atque 233 = 64 + 169. 
Ceterum patet, A necessario fieri imparem (quoniam (A, J5, —A) debet esse 
forma proprie primitiva), et proin B parem. Quum pro determinante po 
sitivo p, qui est numerus primus formae 4 n -f- 1, etiam in ordine improprie pri 
mitivo unica tantum classis anceps contineatur, perspicuum est, si g sit numerus