349 
SOLUTIO AEQUATIONIS 0, XX -f- 1)yy -\-CZZ — 0. 
4w-j-l quadratum par, a numero formae 4w-j-3 quadratum impar, residuum in 
omnibus his casibus in tria quadrata resolubile erit, adeoque numerus propositus 
in quatuor. Denique numerus formae 4n exhiberi potest per k v 'N ita ut N ad 
aliquam trium formarum praecedentium pertineat: resoluto autem ipso N in qua 
tuor quadrata, etiam resolutus erit. A numero formae 8w-(-3 etiam sub 
duci potest quadratum radicis pariter paris, a numero formae 8w-j-7 quadratum 
radicis impariter paris, a numero formae Sw-(-4 quadratum impar, residuuraque 
in tria quadrata resolubile erit. Ceterum hocce theorema iam ab ill. La Grange 
demonstratum erat, Nouv. Mem. del’Ac. de Berlin 1110 p. 123, quam demonstra 
tionem (a nostra prorsus diversam) fusius explicavit ill. Euler in Actis Ac. Petr. 
Vol. II. p. 48. Alia Fermatii theoremata quae praecedentium quasi continua 
tionem constituunt, quemvis numerum integrum in quinque numeros pentagonales, 
sex hexagonales, septem heptagonales etc. resolubilem esse, demonstratione hac 
tenus carent, aliaque principia requirere videntur. 
Solutio aequationis axx byy -j- czz = 0. 
294. 
Theorema. Designantibus a, b, c numeros inter se primos, quorum nullus ne 
que — 0 neque per quadratum divisibilis, aequatio 
axx-\~byy-\-czz — 0 • • • (Q) 
resolutionem in integris non admittet [praeter hanc x — y — z == 0 ad quam non 
respicimus) nisi —b c, — ac, —ab resp. sint residua quadratica ipsorum a, b, c, at 
que hi numeri signis inaequalibus affecti; his vero quatuor conditionibus locum 
habentibus, (11) in integris resolubilis erit. 
Dem. Si (Q) per integros omnino est resolubilis, etiam per tales valores 
ipsorum x, y, z resolvi poterit, qui divisorem communem non habent; nam valo 
res quicunque, aequ. 11 satisfacientes, etiamnum satisfacient, si per divisorem 
communem maximum dividuntur. Iam supponendo appA~bqq-\~ crr — 0’ at 
que p, q, r a divisore communi liberos, etiam inter se primi erunt; si enim q, r 
divisorem communem g haberent, hic ad p primus esset, gp autem metiretur 
ipsum app adeoque etiam ipsum a, contra hyp.; et perinde p, r; p, q inter se 
primi erunt. Repraesentatur itaque —app per formam binariam byyA~czz,