356
DE FORMIS TERNARIIS SECUNDI GRADUS.
nequit simul esse pRq, qNp. Accipiatur numerus primus auxiliaris r formae
4 ^ —|— 1 qui sit non-residuum utriusque p, q. Tunc erit (per II) qNr et (per
III) pNr; hinc pqRr-, si itaque esset pRq, qNp, haberetur etiam prNq,
— prRq, qrRp\ quare aequatio pxx— qyy-\-rzz = 0 resolubilis esset,
Q. -E. A. Hinc derivantur casus 3 et 6 art. 131.
V. Designantibus p, q numeros primos formae 4t» —{— 3, nequit simul
esse pNq, qNp. Supponendo enim fieri posse, et accipiendo numerum primum
auxiliarem r formae 4w-j- 1, qui sit non-residuum utriusque ji, erit qrRp,
prRq; porro (per II) pNr, qNr, unde pqRr et —pqRr; hinc aequatio
—pxx—qyy -\-rzz — 0 possibilis, contra obs. praec. Hinc deducitur casus
8 art. 131.
297.
Demonstrationem praec. proprius contemplando quisque facile intelliget, ca
sus I et II ita absolutos esse ut nihil obiici possit. At demonstrationes casuum
reliquorum innituntur existentiae numerorum auxiliarium, qua nondum demon
strata methodus manifesto omnem vim perdit. Quae suppositiones, etsi tam spe
ciosae sint, ut minus attendenti demonstratione ne opus quidem esse videri pos
sit, atque certe theorema demonstrandum ad maximum probabilitatis gradum
evehant, tamen si rigor geometricus desideretur, neutiquam gratuito sunt admit
tendae. Quod quidem attinet ad suppositionem in IV et V, exstare numerum
primum r formae 4 n -(-1, qui duorum aliorum primorum datorum p, q non-
residuum sit, e Sect. IV facile concluditur, omnes numeros ipso 4 pq minores ad
ipsumque primos (quorum multitudo est 2 [p—1 )[q—1)) in quatuor classes
aequaliter distribui, quarum una contineat non-residua utriusque p, q, tres reli
quae residua ipsius p non-residua ipsius q, non-residua ipsius p residua ipsius
q, residua utriusque p, q; et in singulis classibus semissem fore numeros formae
4 n -f-1, semissem formae 4 n -J- 3. Habebuntur itaque inter illos \[p — 1) [q — 1)
non-residua utriusque p, q formae qui sint y, g, g" etc.; numeri
t (p — l)(i—1) reliqui sint h, K, h" etc. Manifesto omnes numeri informis 4 pqt-\-g,
Apqt-\-g, \pqt-\-g" etc. (G) contenti quoque erunt non-residua ipsorum p, q
formae 4 n 1. lam patet, ad suppositionem stabiliendam demonstrari tantum
modo debere, sub formis (6r) certo contineri numeros primos, quod sane iam per
se valde plausibile videtur, quum hae formae una cum his 4pqt-\-h, kpqt-\-Ketc.
