418 
DE AEQUATIONIBUS CIRCULI SECTIONES DEFINIENTIBUS. 
I. Quando ^ convenit cum adeoque P = P, In hoc casu manifesto 
binae semper radices in ^]3 reciprocae erunt, adeoque P productum ex 4P facto 
ribus talibus duplicibus xx— 2x cosoi-j- 1 ; quum talis factor sit = [x — costo) 2 
4- sin (o 2 , facile perspicietur, P pro valore quocunque reali ipsius x necessario 
valorem realem positivum obtinere. Sint aequationes, quarum radices sunt qua 
drata , cubi, biquadrata . . . potestates n— l tae radicum in resp. hae P' = 0, 
P" ——- 0 , P"'= 0, . . . P v = 0 , sintque valores functionum P, P', P" . , . P v , 
quos obtinent statuendo x = 1, resp. p,p\p"...p i , tunc per ante dicta p erit 
quantitas positiva et prorsus simili ratione etiam p, p" etc. positivae erunt. Quum 
itaque p sit valor functionis (i —t) (1 —u) (1 —v) etc., quem obtinet ponendo pro 
t, u, v etc. radices in ^3; p valor eiusdem, statuendo pro t, u, v etc. quadrata il 
larum radicum etc., insuperque valor pro t = 1, u = 1, v = 1 etc. manifesto 
bat =0; summa p-\-p'-\-p . . . -f- p* erit integer per n divisibilis. Praeterea 
facile perspicietur, productum PP'P". . . fieri = X k , adeoque ppp". .. = n k . 
lam si omnes coéfficientes in P rationales essent, omnes quoque in P', P" 
etc. per art. 338 rationales evaderent; per art. 42 autem cuncti hi coéfficientes 
necessario forent integri. Hinc etiam p, p, p”etc. omnes integri forent, quorum 
productum quum sit n k , multitudo vero n—necessario quidam ex ipsis 
(saltem n — 1 — X) esse debebunt = 1, reliqui vero ipsi n vel potestati ipsius 
n aequales. Quodsi itaque g ex ipsis sunt =1, summa pp-\-etc. mani 
festo erit =¿7 (mod. n ) adeoque certo per n non divisibilis. Quare suppositio 
consistere nequit. 
II. Quando ^3 et non quidem coincidunt, attamen quasdam radices com 
munes continent, sit % harum complexus atque T — 0 aequatio, cuius radices 
sunt. Tunc T erit divisor communis maximus functionum P, P (ut e theoria 
aequationum constat). Manifesto autem binae semper radices in X reciprocae 
erunt, unde per ante demonstrata omnes coéfficientes in T rationales esse neque 
unt. Hoc vero certo eveniret, si omnes in P adeoque etiam omnes in P ratio 
nales essent, ut e natura operationis, divisiorem comm. max. investigandi sponte 
sequitur. Quare suppositio est absurda. 
III. Quando d et 0 vel coincidunt, vel saltem radices communes impli 
cant, prorsus eodem modo omnes coéfficientes in Q rationales esse nequeunt; fie 
rent vero rationales, si omnes in P rationales essent; hoc itaque est impossibile. 
IV. Si vero neque ^3 cum neque cum 'B ullam radicem comrnu-