442
DE AEQUATIONIBUS CIECULI SECTIONES DEFINIENTIBUS.
Productum ex (m, l) in (m, g) per art. 345 fit
= [m, iV+l)+(iw, iV"—f— 1) -{- etc. = W
atque hinc reducetur sub formam talem a(m, 0l)-f-y(m, g). Ad de
terminationem coefficientium a, y observamus, primo, fieri = m
{scilicet quoniam multitudo aggregatorum in W est = m); secundo, esse £> = y
{hoc sequitur ex art. 350, quum productum (m, 1) x {m, gj sit functio invariabi-
lis aggregatorum (m, 1), {m, g), e quibus aggregatum maius {n— 1, 1) composi
tum est); tertio, quum omnes numeri JV-j-1, N"-\-1 etc. infra limites
2 et n —j— 1 exci, contineantur, manifestum est, vel nullum aggregatum in W ad
[m, 0) reduci adeoque esse a — 0, quando inter numeros N, N', N" etc. non
occurrat n — 1, vel unum puta {m, n), et proin haberi a = 1, quando n—1
inter numeros N, N', N" etc. reperiatur. Hinc colligitur, in casu priori fieri
a = 0, b — y = in posteriori a = 1, = y = ^-{m— 1), simul hinc se
quitur, quum numeri ^ et y necessario fiant integri, casum priorem locum ha
bere, sive n — 1 (aut quod idem est —l) inter non-residua ipsius n non repe-
riri, quando m sit par sive n formae 4 A* —|— 1 ; casum posteriorem vero adesse,
sive n — 1 aut — 1 inter non-residua ipsius n reperiri, quoties m sit impar
sive n formae 4 A* —3. Hinc productum quaesitum fit, propter (m, 0) = m,
(m, 1) -f- [m, g) = —1, in casu priori = —in posteriori = ±{m-j- 1), adeo
que aequatio quaesita in illo casu xx-\-x—\{n — 1) = 0, cuius radices sunt
— in hoc vero xx-\-x-\-± (» —J— 1) = 0, cuius radices —i +
Quaecunque itaque radix ex Q pro [1] adoptata est, differentia inter sum
mas 2 [Sft] et 2 [9fc], ubi pro omnia residua, pro omnia non-residua qua-
dratica positiva ipsius n infra n substituenda sunt, erit = + \Jn, pro n = 1, et
= -jrisjn, pro n = 3 (mod. 4), Nec non hinc facile sequitur, denotante k inte
grum quemcunque per n non divisibilem, fieri
■ a mp v kssip , /
I cos L cos — -4- \Jn
n n —i— V
. v . kmp
et 1 sin
v
• mp
sin = 0
pro
1 (mod. 4); contra pro ?z = 3(mod. 4) differentiam illam = 0, hanc
*) Hoc modo nacti sumus demonstrationem novam theorematis, — i esse residuum omnium numero
rum primorum formae 4& + 1, non-residuum omnium formae 4&+3, quod supra (art. 108, 109, 262) iam
pluribus modis diversis comprobatum fuit. Si magis arridet, hoc theorema supponere, non necessarium erit ad
distinctionem duorum casuum diversorum eius conditionis rationem habere, quod 6, y iam per se fiunt integri.