76 
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS. 
Demonstr. I. Sint A,B residua e quadratis aa,hh oriunda sive A=aa, 
B = bb, eritque productum AB quadrato numeri ab congruum i. e. residuum. 
II. Quando A est residuum, puta =aa, B vero non-residuum, AB erit 
non-residuum. Ponatur enim si fieri potest AB=kk, sitque valor expressio 
nis -^(mod.jo)=6; erit itaque aaB=aabb, unde B=bb, i. e. B residuum 
contra hyp. 
Aliter. Multiplicentur omnes numeri qui inter hos 1,2,3 p— 1 sunt 
residua (quorum multitudo = F(p—1)), per A omniaque producta erunt resi 
dua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. lam si non-residuum B per 
A multiplicatur, productum nulli productorum quae iam habentur congruum erit; 
quare si residuum esset, haberentur k{p-\- 1) residua incongrua inter quae non 
dum est residuum 0 , contra art, 96. 
III. Sint A, B non-residua. Multiplicentur omnes numeri qui inter 
hos 1,2,3 p—1 sunt residua per A, habebunturque \{p—1) non-residua 
inter se incongrua (II); iam productum AB nulli illorum congruum esse potest; 
quodsi igitur esset non-residuum, haberentur P(p-f-l) non-residua inter se in 
congrua, contra art. 96. Quare productum etc. Q. E. D. 
Facilius adhuc haec theoremata e principiis sect, praec. derivantur. Quia 
enim residuorum indices semper sunt pares, non-residuorum vero impares, index 
producti e duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum, 
residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque 
productum ipsum non-residuum. 
Utraque demonstrandi methodus etiam pro his theorematibus adhiberi 
potest: Expressionis l A[pn 0 d.p) valor erit residuum, quando numeri a,b simul sunt 
residua, vel simul non-residua; contra autem erit non-residuum, quando numerorum 
a, b alter est residuum alter non-residuum. Possunt etiam ex conversione theorr. 
praecc. obtineri. 
99. 
Generaliter, productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando 
omnes sunt residua, tum quando non-residuorum, quae inter eos occurrunt, mul 
titudo est par; quando vero multitudo non-residuorum quae inter factores reperi- 
untur est impar, productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest,