84
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.
vero hoc theorema supponere velimus, facilius adhuc demonstratio exhiberi pote
rit. Scilicet inter numeros 1, 2, 3 ...p— 1 erunt —residua quadratica ip
sius p totidemque non-residua; quare non-residuorum multitudo erit par, quando
p est formae 4 /z —1; impar quando p est formae 4w-j-3. Hinc productum
ex omnibus numeris 1,2,3 ...p—1 in priori casu erit residuum, in posteriori
non-residuum (art. 99). At productum hoc semper =—l(mod.p); adeoque
etiam — 1 in priori casu residuum, in posteriori non-residuum erit.
111.
Si itaque r est residuum numeri alicuius primi formae 4»—f— 1., etiam
— r huius primi residuum erit, omnia autem talis numeri non-residua, etiam sig
no contrario sumta non-residua manebunt*). Contrarium evenit pro numeris pri
mis formae 4w-j-3, quorum residua quando signum mutatur, non-residua fiunt
et vice versa, vid. art. 98.
Ceterum facile ex praecedentibus derivatur regula generalis: — 1 est re
siduum omnium numerorum qui neque per 4 neque per ullum numerum primum
formae 4 n -f- 3 dividi possunt; omnium reliquorum non-residuum. V. artt. 103
et 105.
Residua -(-2 et — 2.
112.
Progredimur ad residua -j-2 et —2.
Si ex tabula II colligimus omnes numeros primos quorum residuum est
-j-2, hos habebimus: 7,17,23,31,41,47,71,73,79,89,97. Facile autem ani
madvertitur, inter hos numeros nullos inveniri formarum 8 2z-j- 3 et 8w-f-5.
Videamus itaque, num haec inductio ad certitudinem evehi possit.
Primum observamus quemvis numerum compositum formae 8 /z —j— 3 vel
8w-j-5 necessario factorem primum alterutrius formae 8 /z —(— 3 vel 8 —j— 5, in
volvere; manifesto enim e solis numeris primis formarum 8w-j-l, 8 n-\-l, alii
numeri quam qui sunt formae Sw-j-1 vel 8w-j-7, componi nequeunt. Quodsi
itaque inductio nostra generaliter est vera, nullus omnino numerus formae
# ) Quando igitur de numero quocunque loquemur quatenus numeri formae 4n + 1 residuum vel non-re
siduum est, ipsius signum omnino negligere sive etiam signum anceps + ipsi tribuere poterimus.
