86
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.
u ipso t minorem fore. Denique — 2 etiam ipsius u residuum erit, i. e. t non
erit minimus numerus qui inductioni nostrae adversatur, contra hyp. Quare ne
cessario — 2 omnium numerorum formarum 8w-j-5, Sn-\-7 non-residuum.
Combinando haec cum prop. art. 111, prodeunt theoremata haec:
I. Omnium numerorum 'primorum 8 n-\-h , tum —2 tum -J- 2 sunt non-
residua, uti iam in art. praec. invenimus.
II. Omnium numerorum primorum formae 8 n -f- 7, —2 est non-residuum,
-f-2 vero residuum.
Ceterum in utraque demonstratione pro a etiam valorem parem accipere
potuissemus; tunc autem casum ubi a fuisset formae 4w + 2, ab eo distinguere
oportuisset, ubi a formae 4 n. Evolutio autem perinde procedit uti supra, nulli
que difficultati est obnoxia.
114.
Unus adhuc superest casus, scilicet ubi numerus primus est formae 8w-f-1.
Hic vero methodum praecedentem eludit, artificiaque prorsus peculiaria postulat.
Sit pro modulo primo 8 —|— 1 , radix quaecunque primitiva a, eritque
(art. 62) a in = — 1 (mod. 8w-)- 1 ), quae congruentia ita etiam exhiberi potest,
(« 2n -f-l)*=2a 2w (mod. 8^-f-l), sive etiam ita, [ar n —l) 2 = — 2a~'\ Ibide sequi
tur tum 2 ar n tum —2 a 2n ipsius 8 —{— 1 esse residuum : at quia a 2n est qua
dratum per modulum non divisibile, manifesto etiam tum -f- 2 tum — 2 resi
dua erunt (art. 98).
115.
Haud inutile erit, adhuc aliam huius theorematis demonstrationem adiicere,
quae similem relationem ad praecedentem habet, ut theorematis art. 108 demon
stratio secunda (art. 109) ad primam (art. 108). Periti facilius tunc perspicient,
binas demonstrationes tam illas quam has non adeo heterogéneas esse, quam pri
mo forsan aspectu videantur.
I. Pro modulo quocunque primo formae 4 m-\- \ , inter numeros ipso mi
nores 1, 2, 3 ... 4 m, reperientur m qui biquadrato congrui esse possunt, reliqui
vero 3 m non poterunt.
Facile quidem hoc ex principiis Sect. praec. derivatur, sed etiam absque his
demonstratio haud difficilis. Demonstravimus enim pro tali modulo — 1 sem-
