88
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.
nicavit. Postea ab ili. Eulero frustra semper est investigata : at ill. La Grange pri
mus demonstrationem rigorosam reperit, Nonv. Mém. de TAc. de Berlin 177 5.
p. 349, 351. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando scripsit diss. in
Opusc. Analyt. conservatam, T. I. p. 259.
Residua +3 et — 3.
117.
Pergimus ad residua -j- 3 et — 3. A posteriori initium faciamus.
Reperiuntur ex tab. II. numeri primi quorum residuum est —3 hi: 3, 7.
13,19,31,37,43,61,67,73,79,97, inter quos nullus invenitur formae 6w-(-5.
Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius formae dantur quorum
residuum — 3 , ita demonstramus: Primo patet quemvis numerum compositum
formae 6w-(-5 necessario factorem primum aliquem eiusdem formae involvere.
Quousque igitur nulli numeri primi formae 6 n-)- 5 dantur, quorum residuum
— 3, eo usque tales etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero ultra tabulae
nostrae limites tales numeri darentur, sit omnium minimus =t, ponaturque
— 3 =zaa — tu. Tunc erit, si acceperis a parem ipsoque t minorem, u<ft, at
que — 3 residuum ipsius u. Sed quando a formae 6w+2, tu erit formae
6^—(— 1, adeoque u formae 6w-|-5. Q. E. A. quia t minimum esse numerum
inductioni nostrae adversantem supposuimus. Quando vero a formae 6 n, erit
tu formae 36^ —{— 3 adeoque \tu formae 12 /*.—(— 1, quare \ u erit formae
6—(— 5; patet autem —3 etiam ipsius \u residuum fore, atque esse \u<^t,
Q. E. A. Manifestum itaque, —3 nullius numeri formae 6w-f-5 residuum
esse posse.
Quoniam quisque numerus formae 6w-f- 5 necessario vel sub forma 1 2 ^ —(— 5,
vel sub hac 12—f- 11 continetur, prior autem forma sub hac posterior
sub hac 4 n -j- 3 , haec habentur theoremata;
I. Cuiusvis numeri primi formae I 2 /< —(— 5, tum —3 tum -f-3 non-resi
duum est.
II. Cuiusvis numeri primi formae 1 2 n-\- 11, — 3 est non-residuum , -j- 3
vero residuum.