90 
DE CONGRUENTES SECUNDI GRADUS. 
120. 
Colliguntur facile ex praecc. theoremata haec (vid. artt. 102, 103, 105). 
I. — 3 est residuum omnium numerorum, qui neque per 8, neque per 9, ne 
que per ullum numerum primum formae 6 ^ —{— 5 dividi possunt, non-residuum autem 
omnium reliquorum. 
II. + 3 est residuum omnium numerorum, qui neque per 4, neque per 9, ne 
que per ullum primum formae 1 2 ^ —{— 5 vel !2n--\-7 dividi possunt, omnium reli 
quorum non - residuum. 
Teneatur imprimis casus particularis hic: 
— 3 est residuum omnium numerorum primorum formae 3 n-\- 1 , seu quod 
idem est omnium, qui ipsius 3 sunt residua, non-residuum vero omnium numerorum 
primorum formae 6w-(-5, seu, excluso numero 2, omnium formae 3w-)-2, i. e. 
omnium qui ipsius 3 sunt non-residua. Facile vero perspicitur omnes reliquos ca 
sus ex hoc sponte sequi. 
Propositiones ad residua -f- 3 et — 3 pertinentes iam Fermatio notae fu 
erunt, Opera Wallisii T. II. p. 857. At ili. Euler primus demonstrationes tradi 
dit, Comm. nov. Petr. T. VIII. p. 105 sqq. Eo magis est mirandum, demonstra 
tiones propositionum ad residua -f- 2 et —-2 pertinentium, prorsus similibus 
artificiis innixas, semper ipsius sagacitatem fugisse. Vid. etiam comment. ili. La 
Grange, Nouv. Mem. de l’Ac. de Berlin, 1 77 5 p. 352. 
Residua -p 5 et — 5. 
121. 
Per inductionem deprehenditur, -j- 5 nullius numeri imparis formae 
5w-[-2 vel 5w-|-3 residuum esse, i. e. nullius numeri imparis qui ipsius 5 
non-residuum sit. Hanc vero regulam nullam exceptionem pati, ita demonstratur. 
Sit numerus minimus, si quis datur, ab hac regula excipiendus —t, qui itaque 
numeri 5 est non-residuum, 5 autem ipsius t residuum. Sit aa — h-\-tu, ita 
ut a sit par ipsoque t minor. Erit igitur u impar ipsoque t minor, -f- 5 au 
tem ipsius u residuum erit. Quodsi iam a per 5 non est divisibilis, etiam u non 
erit; manifesto autem tu ipsius 5 est residuum, quare quum t ipsius 5 sit non- 
residuum, etiam u non-residuum erit; i. e. datur non-residuum impar numeri 5, 
cuius residuum est -f-5, ipso t minus, contra hyp. Sivero a per 5 est divisi