COMMENTATIO SECUNDA. 
105 
14 
Numeri reales negativi manifesto easdem denominationes servant, quas po 
sitivi, idemque valet de numeris imaginariis puris. 
Superest itaque, ut inter numeros imaginarios mixtos, compositos a primis 
dignoscere doceamus, quod iit per sequens 
Theorema. Quivis numerus integer imaginarius mixtus a-\-bi est vel nume 
rus primus complexus, vel numerus compositus, prout ipsius norma est vel numerus 
primus realis, vel numerus compositus. 
Dem. I. Quoniam numeri complexi compositi norma semper est numerus 
compositus, patet, numerum complexum, cuius norma sit numerus primus rea 
lis , necessario esse debere numerum primum complexum. Q. E. P. 
II. Si vero norma aa-\-bb est numerus compositus, sit p numerus primus 
positivus realis illam metiens. Duo iam casus distinguendi sunt. 
1) Si p est formae 43, constat, aa-\-hb per p divisibilem esse non 
posse, nisi p simul metiatur ipsos a,b, unde a-\-bi erit numerus compositus. 
2) Si p non est formae 4w-j-3, certo in duo quadrata decomponi poterit: 
statuemus itaque p — aa-)-dd. Quum fiat 
[aa-^bt)) [aot—&d) = aa[aa-\-^^) — fifUga-^bb) 
adeoque per p divisibilis, p certo alterutrum factorem aa-{-bfi, a a — hf> me 
tietur , et quum insuper fiat 
{ga-\- bfi) 2 -\- {ba — afif = [aa — b^Y-^-fia-^at)) 2 — [aa-\-bb){ga-\-t>l3) 
adeoque per pp divisibilis, patet, in casu priori etiam ba — afi, in posteriori 
ba-\- a fi per p divisibilem esse debere. Quare in casu priori 
a -f- b i a a + b 6 , b a — a 6 . 
a -p 6 * p 1 p 
erit numerus integer complexus, in posteriori autem 
a + b i a a — b S , b a + a 6 ^ 
a — 6 i p 1 p 
integer erit. Quum itaque numerus propositus vel per a-j-fii vel per a tn 
divisibilis sit, quotientisque norma = aa ^ ^ per hyp. ab unitate diveisa fiat, pa 
tet, a-\-bi in utroque casu esse numerum complexum compositum. Q. E. S.