[?Od O 
est. Pro primo huius elegantissimi theorematis inventore ili. Legendre absque du 
bio habendus est, postquam longe antea summi geometrae Euler et Lagrange plu- 
res eius casus speciales iam per inductionem detexerant. Conatibus horum viro 
rum circa demonstrationem enumerandis hic non immoror; adeant quibus volupe 
est opus modo commemoratum. Adiicere liceat tantummodo, in confirmationem 
eorum, quae in art, praec. prolata sunt, quae ad meos conatus pertinent. In ipsum 
theorema proprio marte incideram anno 17 95, dum omnium, quae in arithmetica 
sublimiori iam elaborata fuerant, penitus ignarus et a subsidiis literariis omnino 
praeclusus essem: sed per integrum annum me torsit, operamque enixissimam ef 
fugit, donec tandem demonstrationem in Sectione quarta operis illius traditam 
nactus essem. Postea tres aliae principiis prorsus diversis innixae se mihi obtu 
lerunt , quarum unam in Sectione quinta tradidi, reliquas elegantia illa haud in 
feriores alia occasione publici iuris faciam. Sed omnes hae demonstrationes, 
etiamsi respectu rigoris nihil desiderandum relinquere videantur, e principiis ni 
mis heterogeneis derivatae sunt, prima forsan excepta, quae tamen per ratiocinia 
magis laboriosa procedit, operationibusque prolixioribus premitur. Demonstra 
tionem itaque genuinam hactenus haud affuisse non dubito pronunciare: esto iam 
penes peritos iudicium, an ea, quam nuper detegere successit, quamque pagellae 
sequentes exhibent, hoc nomine decorari mereatur. 
3. 
Theorema. Sit p numerus primus positivus; k integer quicunque per p non 
divisibilis; 
A complexus numerorum 1, 2, 3 . ... \ [p 1) 
B complexus horum £(jp+l), T (p+ 3), %[pp- 
Capiantur residua minima positiva productorum ex k in singulos numeros A secun 
dum modulum p, quae manifesto omnia diversa erunt, atque partim ad A partim ad 
B pertinebunt. Iam si ad B omnino p residua pertinere supponantur, erit k vel re 
siduum vel non-residuum quadraticum ipsius p, prout \x par est vel impar. 
Dem. Sint residua ad A pertinentia haec a, d, d.... , reliqua ad B 
pertinentia b, b', b"...., patetque posteriorum complementa p—b, p—b', p—b" 
a, d, a"... . diversa esse, cum his vero simul sumta comple- 
xum A ex 
1 
Productum 
Hinc erit 
sive k 
nus demana 
iiatioi 
rundam de 
titudinem 
quorum resi 
Porro existe 
mus integru 
sitiva intra 
I. 
III. 
IV. 
si vero x — 
V. * 
p infra \p