COMMENTATIO SECUNDA.
127
character hoc respectu tribuendus est, quo gaudet numerus systematis illi
congruus.
Porro ibinde sequitur, productum e duobus residuis quadraticis, nec non
productum e duobus non-residuis esse residuum quadraticum; contra productum
e residuo quadratico in non-residuum fieri non-residuum; et generaliter productum
e quotcunque factoribus esse residuum quadraticum vel non-residuum, prout mul
titudo non-residuorum inter factores par sit vel impar.
Pro distinguendis residuis quadraticis a non-residuis statim se offert criterium
generale sequens :
Numerus k per modulum non divisibilis huius residuum vel non-residuum
quadraticum est, prout habetur vel k^ p ~ x>) = \, vel k^ p ~^ = —1 (mod. m).
Veritas huius theorematis statim inde sequitur, quod, accepta radice primi
tiva quacunque pro basi, index potestatis k^ p ~ x ^ fit vel = 0 vel = 4r[p — l),
prout index numeri k par est vel impar.
57.
Facile quidem est, pro modulo dato systema residuorum incongruorum com
pletum in duas classes, puta residua et non-residua quadratica distinguere, quo
pacto simul omnibus reliquis numeris classes suae sponte assignantur. At longe
altioris indaginis est quaestio de criteriis ad distinguendum modulos eos, pro qui
bus numerus datus est residuum quadraticum, ab iis, pro quibus est non-residuum.
Quod quidem attinet ad unitates reales -j-l et —1, hae in arithmetica nu
merorum complexorum sunt reapse quadrata, adeoque etiam residua quadratica pro
quovis modulo. Aeque facile e criterio art. praec. sequitur, numerum i (et per
inde — i) esse residuum quadraticum cuiusvis moduli, cuius norma p sit formae
8 n -j-1, non-residuum vero cuiusvis moduli, cuius norma sit formae 8 n -j- 5. Quum
manifesto nihil intersit, utrum numerus m, an aliquis numerorum ipsi associato
rum im, —m, —im pro modulo adoptetur, supponere licebit, modulum esse
associatorum primarium (art. 36, II), adeoque statuendo modulum =a-\-hi, esse
a imparem, b parem. Quo pacto quum semper sit aa = 1 (mod. 8), hh vero vel
= 0 vel = 4 (mod. 8), prout h sit pariter par vel impariter par, patet nume
ros -f-i et — i in casu priori esse residua quadratica moduli, in posteriori non-
residua.
