128
THEORIA RESIDUORUM BIQUADRATICORUM.
58.
Quum diiudicatio characteris numeri compositi, utrum sit residuum quadra- moc
ticum an non-residuum, pendeat a characteribus factorum, manifesto sufficiet, si
evolutionem criteriorum ad distinguendos modulos, pro quibus numerus datus k ^ eir
sit residuum quadraticum, ab iis, pro quibus sit non-residuum, ad tales valores j- g (
ipsius k limitemus, qui sint numeri primi, insuperque inter associatos primarii.
In qua investigatione inductio protinus theoremata maxime elegantia suppeditat.
Incipiamus a numero 1 —f, qui invenitur esse residuum quadraticum mo
dulorum
— 14-21, 4-3 — 2i, —5 — 2i, —1—6«, —1— 5 —j— 4^, 4-5 — 4«, —7, -j-74-2«,
— 5-f-6«’, etc.
non-residuum quadraticum autem sequentium _j_ o
— 1 — 2«, —3, -434-2«, 4-14-4«, 4-1 — 4«, —54-2«, —14-6«, 4-7 — 2«, + 5
— 5 — 6«", — 3 4“ 8 4 — 3 — 8«', ~4 5 —4 8 ii 4- 5 — 8«, —4 9 —|— 4«', —4 9 — 4 i etc.
— 1
Si hunc conspectum, in quo semper e quaternis modulis associatis prima- _j_ g
rium apposuimus, attente examinamus, facile animadvertimus, modulos a -f- b i
in priori classe omnes esse tales, pro quibus a-\~b fiat =-\-\ (mod. 8), in poste- c | mi
riori vero tales, pro quibus a-]-b =— 3 (mod. 8). Manifesto hoc criterium, si _j_j
loco moduli primarii m adoptamus’ associatum — m, ita immutari debet, ut pro
modulis prioris classis sit a-\-b = — 1, pro modulis posterioris = 4~3 (mod. 8). ( j u p
Quare, siquidem inductio non fefellerit, generaliter, designante a-{-hi nume
rum primum, in quo a impar, h par, 1—4® iit eius residuum quadraticum vel 1
non-residuum quadraticum, prout a~4& = + l, vel = + 3 (mod. 8). ce ^
Pronumero —1— i eadem regula valet, quae pro 1-4«. Contra conside- q ra ^
rando 1 —« tamquam productum ex —« in 1-44 manifestum est, numero 1—« ^ cu
eundem characterem competere, qui tribuendus sit ipsi 1-44 quoties h sit pariter p 0 ^
par, oppositum autem, quoties h sit impariter par, unde facile colligitur, 1 — «
esse residuum quadraticum numeri primi a-\-bi, quoties sit a — 6 = + l, non- mer
residuum autem, quoties habeatur a — b = + 3 (mod. 8), semper supponendo, a
esse imparem, b parem.
Ceterum haec secunda propositio e priori etiam deduci potest adiumento
theorematis generalioris, quod ita enunciamus: mus
