COMMENTATIO SECUNDA. 129
ium quadra-
sufficiet, si
rus datus k
tales valores
In theoria residuorum quadraticorum character numeri a + d« respectu
moduli a-{-hi idem est, qui numeri a — fi i respectu moduli a —hi.
Demonstratio huius theorematis inde petitur, quod uterque modulus ean
dem normam p habet, atque quoties (a + d«)*^ -l) — 1 per a -{-hi divisibi-
lis est, etiam [a — di) 2 ^' ^ — 1 per a — hi divisibilis evadit, quoties autem
tos primarii,
suppeditat.
:aticum mo-
(a + d«)*^ - ^ + 1 per a-{-hi divisibilis est, etiam (a—(-1 per a —hi
divisibilis esse debet.
—|— 7 —|— 2 z.
59.
Progrediamur ad numeros primos impares.
Numerum —1 —{— 2 i invenimus esse residuum quadraticum modulorum
—(— 3 —j— 2 «', —[— 1 — 4 i, — 5 —[— 2 i, — 5 — 2 i, — 1 — 6 i, —|— 7 — 2 i, — 3 —)— 8 i,
, -j- 7 — 2«,
> — 4 « etc.
—j- 5 —J— 8 i, —(— 5 — 8 i, —j— 9 —j— 4 i etc.
non-residuum autem modulorum — 1 — 2 i, — 3 , -(-3 — 2 i, —|— 1 —{— 4 z.
datis prima-
lulos a-{-hi
8), in poste-
;riterium, si
ebet, ut pro
+ 3 (mod. 8).
-\-hi nume-
iraticum vel
— 1 + 6«, +5 + 4«, +5—4«, —7, +7 + 2«, —5 + 6«, —5 — 6«, —3 — 8«,
+ 9 — 4« etc.
[Reducendo modulos prioris classis ad residua eorum absolute minima secun
dum modulum —1+2«, haec sola invenimus +1 et — 1, puta + 3 + 2«= — 1,
+1—4« = — 1, — 5 + 2« = +1, —5 — 2« = — 1 etc.
Contra omnes moduli posterioris classis congrui inveniuntur secundum mo
dulum —1 + 2« vel ipsi +«, vel ipsi —«.
At numeri +1, —1 ipsi sunt residua quadratica moduli —1+2«, atque
+ « et —« eiusdem non-residua: quocirca, quatenus inductioni fidem habere li-
)•
itra conside-
cet, prodit theorema: Numerus —1 + 2« est residuum vel non-residuum qua
draticum numeri primi a-{-hi, prout hic est residuum vel non-residuum quadra-
i umero 1 —«
h sit pariter
[igitur, 1 — i
E -f-1, non-
pponendo, a
ticum ipsius —1 + 2«, siquidem a-{-hi est primarius e quaternis associatis, vel
potius, si a est impar, h par.
Ceterum ex hoc theoremate sponte sequuntur theoremata analoga circa nu
meros + 1 — 2«, — 1 — 2«, +1 + 2«.
t adiumento
60.
Instituendo similem inductionem circa numerum — 3 vel + 3, inveni
mus, utrumque esse residuum quadraticum modulorum +3 + 2«, +3 2«,
17
